与えられた定積分 $I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$

の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、パラメータ積分を使って解くことができます。

まず、新しい関数 $I(a)$ を定義します。

$I(a) = \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx$

ここで、$a \ge 0$ とします。求めたい積分 $I$ は $I(0)$ に相当します。

$I(a)$ を $a$ で微分すると、

$\frac{dI}{da} = \frac{d}{da} \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx$

積分記号下での微分を実行すると、

$\frac{dI}{da} = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} (e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x}) dx$

$\frac{dI}{da} = \int_{0}^{\infty} (-x) e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx$

$\frac{dI}{da} = - \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \sin(x) dx$

この積分は、部分積分を2回行うことで計算できます。または、複素積分を使う方法もあります。ここでは、複素積分を使用します。

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \sin(x) dx = \Im \int_{0}^{\infty} e^{-ax} e^{ix} dx = \Im \int_{0}^{\infty} e^{(-a+i)x} dx$

$\int_{0}^{\infty} e^{(-a+i)x} dx = \left[ \frac{e^{(-a+i)x}}{-a+i} \right]_{0}^{\infty} = \frac{e^{\infty(-a+i)}}{-a+i} - \frac{1}{-a+i} = 0 - \frac{1}{-a+i} = \frac{1}{a-i}$

$\frac{1}{a-i} = \frac{a+i}{(a-i)(a+i)} = \frac{a+i}{a^2+1}$

したがって、

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \sin(x) dx = \Im \left( \frac{a+i}{a^2+1} \right) = \frac{1}{a^2+1}$

よって、

$\frac{dI}{da} = -\frac{1}{a^2+1}$

これを $a$ で積分すると、

$I(a) = \int -\frac{1}{a^2+1} da = -\arctan(a) + C$

ここで、$C$ は積分定数です。$a \to \infty$ のとき、$I(a) \to 0$ であることに注意します。

$0 = -\arctan(\infty) + C = -\frac{\pi}{2} + C$

したがって、$C = \frac{\pi}{2}$ です。

$I(a) = -\arctan(a) + \frac{\pi}{2}$

求めたい値は $I(0)$ なので、

$I(0) = -\arctan(0) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$