与えられた関数を積分する問題です。 $\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx$

1. 問題の内容

与えられた関数を積分する問題です。

$\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx$

2. 解き方の手順

積分は、和の積分は積分の和であるという性質と、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$)を利用して計算します。

まず、積分を各項に分けます。

$\int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx + \int \frac{3\sqrt{x}}{2} dx$

定数は積分の外に出せるので、

$5 \int x^4 dx - 3 \int x^2 dx + \frac{3}{2} \int \sqrt{x} dx$

$\sqrt{x}$ は $x^{\frac{1}{2}}$ と書き換えられるので、

$5 \int x^4 dx - 3 \int x^2 dx + \frac{3}{2} \int x^{\frac{1}{2}} dx$

それぞれの項を積分します。

$5 (\frac{x^5}{5}) - 3 (\frac{x^3}{3}) + \frac{3}{2} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}) + C$

整理すると、

$x^5 - x^3 + x^{\frac{3}{2}} + C$

$x^{\frac{3}{2}}$ は $x\sqrt{x}$ と書き換えられます。

$x^5 - x^3 + x\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

$x^5 - x^3 + x\sqrt{x} + C$