(1) スペードの札が出る確率 (2) 絵札(J, Q, K)が出る確率 (3) スペードの絵札が出る確率 (4) スペードまたは絵札が出る確率

## 問題の解答

### 問題の内容

この画像には確率に関する複数の問題が含まれています。

1. トランプの問題：52枚のトランプから1枚を引くとき、

(1) スペードの札が出る確率

(2) 絵札(J, Q, K)が出る確率

(3) スペードの絵札が出る確率

(4) スペードまたは絵札が出る確率

2. くじ引きの問題：100本中、1等が1本、2等が5本、3等が10本、残りはハズレくじである。

(1) 1回引くとき、

(i) 1等が当たる確率

(ii) ハズレを引く確率

(iii) 当たりくじを引く確率

(2) 続けて2回引くとき(引いたくじは戻さない)、

(i) 1回目に1等、2回目に2等が当たる確率

(ii) 少なくとも1回は当たりくじを引く確率

3. 玉を取り出す問題：赤玉5個、白玉4個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、

(1) 赤玉だけが出る確率

(2) 赤玉が1個、白玉が2個出る確率

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率

(4) 3個とも同じ色が出る確率

4. 赤玉3個と白玉5個が入っている箱から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出される赤玉の期待値を求める。

### 解き方の手順と答え

**

1. トランプの問題**

(1) スペードの札が出る確率:

- スペードの札は13枚あるので、確率は $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

(2) 絵札(J, Q, K)が出る確率:

- 絵札は各スートに3枚ずつ、計12枚あるので、確率は $\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$

(3) スペードの絵札が出る確率:

- スペードの絵札は3枚（J, Q, K）なので、確率は $\frac{3}{52}$

(4) スペードまたは絵札が出る確率:

- スペードの札は13枚、絵札は12枚ですが、スペードの絵札3枚が重複しているので、

- $13 + 12 - 3 = 22$

- 確率は $\frac{22}{52} = \frac{11}{26}$

**

2. くじ引きの問題**

(1) 1回引くとき:

(i) 1等が当たる確率: $\frac{1}{100}$

(ii) ハズレを引く確率: $\frac{100 - 1 - 5 - 10}{100} = \frac{84}{100} = \frac{21}{25}$

(iii) 当たりくじを引く確率: $\frac{1 + 5 + 10}{100} = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$

(2) 続けて2回引くとき:

(i) 1回目に1等、2回目に2等が当たる確率:

- 1回目に1等が当たる確率は $\frac{1}{100}$

- 2回目に2等が当たる確率は $\frac{5}{99}$

- 求める確率は $\frac{1}{100} \times \frac{5}{99} = \frac{1}{1980}$

(ii) 少なくとも1回は当たりくじを引く確率:

- 2回ともハズレを引く確率を求めて、1から引けばよい。

- 1回目にハズレを引く確率は $\frac{84}{100}$

- 2回目にハズレを引く確率は $\frac{83}{99}$

- 2回ともハズレを引く確率は $\frac{84}{100} \times \frac{83}{99} = \frac{6972}{9900} = \frac{1743}{2475}$

- したがって、少なくとも1回は当たりくじを引く確率は $1 - \frac{1743}{2475} = \frac{732}{2475} = \frac{244}{825}$

**

3. 玉を取り出す問題**

(1) 赤玉だけが出る確率:

- 全部の選び方は ${9 \choose 3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

- 赤玉3個を選ぶ選び方は ${5 \choose 3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

- 確率は $\frac{10}{84} = \frac{5}{42}$

(2) 赤玉が1個、白玉が2個出る確率:

- 赤玉1個の選び方は ${5 \choose 1} = 5$

- 白玉2個の選び方は ${4 \choose 2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

- 確率は $\frac{5 \times 6}{84} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率:

- 全部白玉が出る確率を求めて、1から引けばよい。

- 全部白玉の選び方は ${4 \choose 3} = 4$

- 確率は $1 - \frac{4}{84} = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$

(4) 3個とも同じ色が出る確率:

- 3個とも赤玉が出る確率は $\frac{5}{42}$ (上記(1)より)

- 3個とも白玉が出る確率は $\frac{4}{84} = \frac{1}{21}$

- 確率は $\frac{5}{42} + \frac{1}{21} = \frac{5}{42} + \frac{2}{42} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6}$

**

4. 赤玉の期待値**

箱から2個の玉を取り出すとき、赤玉の期待値を求めます。

- 取り出し方は全部で ${8 \choose 2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 通り

- 赤玉が0個の場合: ${5 \choose 2} = 10$通り

- 赤玉が1個の場合: ${3 \choose 1} {5 \choose 1} = 3 \times 5 = 15$通り

- 赤玉が2個の場合: ${3 \choose 2} = 3$通り

したがって、期待値は

$0 \times \frac{10}{28} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{3}{28} = \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$

### 最終的な答え

1. トランプの問題

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{3}{13}$

(3) $\frac{3}{52}$

(4) $\frac{11}{26}$

2. くじ引きの問題

(1) (i) $\frac{1}{100}$ (ii) $\frac{21}{25}$ (iii) $\frac{4}{25}$

(2) (i) $\frac{1}{1980}$ (ii) $\frac{244}{825}$

3. 玉を取り出す問題

(1) $\frac{5}{42}$

(2) $\frac{5}{14}$

(3) $\frac{20}{21}$

(4) $\frac{1}{6}$

4. 赤玉の期待値: $\frac{3}{4}$