サイコロを3回投げるゲームがあり、奇数の目が出た回数1回につき500円もらえる。このゲームの参加料が800円の場合、このゲームに参加するのは得であるかを判断する。

1. 問題の内容

サイコロを3回投げるゲームがあり、奇数の目が出た回数1回につき500円もらえる。このゲームの参加料が800円の場合、このゲームに参加するのは得であるかを判断する。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを1回投げたときに奇数の目が出る確率を計算する。サイコロの目は1から6までで、奇数は1, 3, 5の3つなので、確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

次に、3回サイコロを投げて奇数の目が出る回数の期待値を計算する。期待値は、各回数ごとにその回数が起こる確率を掛け合わせたものを合計することで求められる。

3回中k回奇数が出る確率は二項分布に従い、その確率は ${}_3 C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{3-k} = {}_3 C_k (\frac{1}{2})^3$ である。ここで、${}_3 C_k$ は3回中k回選ぶ組み合わせの数である。

奇数の目が出る回数の期待値 $E$ は以下のようになる。

$E = \sum_{k=0}^{3} k \cdot {}_3 C_k (\frac{1}{2})^3$

$= 0 \cdot {}_3 C_0 (\frac{1}{2})^3 + 1 \cdot {}_3 C_1 (\frac{1}{2})^3 + 2 \cdot {}_3 C_2 (\frac{1}{2})^3 + 3 \cdot {}_3 C_3 (\frac{1}{2})^3$

$= 0 + 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{8}$

$= \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8}$

$= \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

期待値は1.5回なので、もらえる金額の期待値は $1.5 \times 500 = 750$ 円である。

参加料が800円なので、期待値は参加料よりも低い。

3. 最終的な答え

期待値が750円で参加料が800円なので、このゲームに参加するのは損である。 よって、得とは言えない。