12本のくじの中に当たりくじが5本ある。A、Bの2人が順番にくじを引くとき、次の確率を求めよ。 (1) Aが当たったとき、Bが当たる条件付き確率 (2) 2人とも外れる確率 (3) Bが当たる確率

1. 問題の内容

12本のくじの中に当たりくじが5本ある。A、Bの2人が順番にくじを引くとき、次の確率を求めよ。

(1) Aが当たったとき、Bが当たる条件付き確率

(2) 2人とも外れる確率

(3) Bが当たる確率

2. 解き方の手順

(1) Aが当たったとき、Bが当たる条件付き確率

Aが当たる事象をA、Bが当たる事象をBとする。求めるのは $P_A(B)$ である。

Aが当たった場合、残りのくじは11本で、当たりくじは4本。

したがって、$P_A(B) = \frac{4}{11}$。

(2) 2人とも外れる確率

Aが外れる確率は $\frac{12-5}{12} = \frac{7}{12}$。

Aが外れたとき、残りのくじは11本で、外れくじは6本。

Bが外れる確率は $\frac{6}{11}$。

したがって、2人とも外れる確率は $\frac{7}{12} \times \frac{6}{11} = \frac{42}{132} = \frac{7}{22}$。

(3) Bが当たる確率

Bが当たるのは、Aが当たってBが当たる場合と、Aが外れてBが当たる場合がある。

Aが当たってBが当たる確率は、$\frac{5}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{20}{132}$。

Aが外れてBが当たる確率は、$\frac{7}{12} \times \frac{5}{11} = \frac{35}{132}$。

したがって、Bが当たる確率は $\frac{20}{132} + \frac{35}{132} = \frac{55}{132} = \frac{5}{12}$。

別の解法として、Bが当たる確率は、Aが当たる確率と等しい。なぜなら、どちらが先に引いても、当たりくじの本数とくじの本数の比は変わらないからである。したがって、Bが当たる確率は $\frac{5}{12}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{11}$

(2) $\frac{7}{22}$

(3) $\frac{5}{12}$