サイコロを3回続けて投げ、奇数の目が出た回数1回につき500円もらえるゲームがある。このゲームの参加料が800円のとき、このゲームに参加するのは得であるといえるか？

1. 問題の内容

サイコロを3回続けて投げ、奇数の目が出た回数1回につき500円もらえるゲームがある。このゲームの参加料が800円のとき、このゲームに参加するのは得であるといえるか？

2. 解き方の手順

まず、サイコロを1回投げたとき、奇数の目が出る確率は、$1/2$である。したがって、奇数の目が出ない確率は$1 - 1/2 = 1/2$となる。

3回サイコロを投げる場合、奇数の目が出る回数は0回, 1回, 2回, 3回のいずれかである。それぞれの確率を計算する。

* 0回：$(1/2)^3 = 1/8$

* 1回：$_3C_1 (1/2)^1 (1/2)^2 = 3(1/8) = 3/8$

* 2回：$_3C_2 (1/2)^2 (1/2)^1 = 3(1/8) = 3/8$

* 3回：$(1/2)^3 = 1/8$

次に、それぞれの回数で得られる金額を計算する。

* 0回：0円

* 1回：500円

* 2回：1000円

* 3回：1500円

次に、期待値を計算する。

期待値 = $(0 \times 1/8) + (500 \times 3/8) + (1000 \times 3/8) + (1500 \times 1/8) = 0 + 1500/8 + 3000/8 + 1500/8 = 6000/8 = 750$円

参加料が800円なので、期待値750円よりも高い。

3. 最終的な答え

ゲームに参加するのは得とは言えない。