9人の生徒を、指定された人数で3つのグループに分ける方法の数を求める問題です。具体的には、(1)4人,3人,2人の組、(2)3人,3人,3人の組、(3)4人,4人,1人の組に分ける方法をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

9人の生徒を、指定された人数で3つのグループに分ける方法の数を求める問題です。具体的には、(1)4人,3人,2人の組、(2)3人,3人,3人の組、(3)4人,4人,1人の組に分ける方法をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 4人,3人,2人の組

まず、9人から4人を選ぶ組み合わせは $_9C_4$通り。

次に、残りの5人から3人を選ぶ組み合わせは $_5C_3$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2$通り。

したがって、求める場合の数は、

$_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$ 通り

(2) 3人,3人,3人の組

まず、9人から3人を選ぶ組み合わせは $_9C_3$通り。

次に、残りの6人から3人を選ぶ組み合わせは $_6C_3$通り。

最後に、残りの3人から3人を選ぶ組み合わせは $_3C_3$通り。

ただし、3つのグループは区別しないため、3!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3 \times 2 \times 1} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り

(3) 4人,4人,1人の組

まず、9人から4人を選ぶ組み合わせは $_9C_4$通り。

次に、残りの5人から4人を選ぶ組み合わせは $_5C_4$通り。

最後に、残りの1人から1人を選ぶ組み合わせは $_1C_1$通り。

ただし、4人のグループは区別しないため、2!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_9C_4 \times _5C_4 \times _1C_1}{2!} = \frac{\frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{4!1!} \times \frac{1!}{1!0!}}{2} = \frac{126 \times 5 \times 1}{2} = \frac{630}{2} = 315$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 280通り

(3) 315通り