碁盤目状の道路がある街で、地点Aから地点Bまで最短経路で行く場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に道順の数を求めます。 (1) すべての道順 (2) 地点Cを通る道順 (3) 地点Pを通る道順 (4) 地点Pも地点Qも通る道順

1. 問題の内容

碁盤目状の道路がある街で、地点Aから地点Bまで最短経路で行く場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に道順の数を求めます。

(1) すべての道順

(2) 地点Cを通る道順

(3) 地点Pを通る道順

(4) 地点Pも地点Qも通る道順

2. 解き方の手順

(1) すべての道順

地点Aから地点Bまで、右に6回、上に5回移動する必要があります。したがって、合計11回の移動のうち、右への移動6回を選ぶ場合の数を計算します。これは組み合わせの問題として解くことができ、${}_{11}C_6$で表されます。

${}_{11}C_6 = \frac{11!}{6!5!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

(2) 地点Cを通る道順

地点Aから地点Cまでの最短経路の数と、地点Cから地点Bまでの最短経路の数を掛け合わせます。

地点Aから地点Cまでは、右に2回、上に1回移動する必要があります。したがって、${}_{3}C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$ 通りです。

地点Cから地点Bまでは、右に4回、上に4回移動する必要があります。したがって、${}_{8}C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通りです。

よって、地点Cを通る道順は、$3 \times 70 = 210$ 通りです。

(3) 地点Pを通る道順

地点Aから地点Pまでの最短経路の数と、地点Pから地点Bまでの最短経路の数を掛け合わせます。

地点Aから地点Pまでは、右に4回、上に2回移動する必要があります。したがって、${}_{6}C_2 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

地点Pから地点Bまでは、右に2回、上に3回移動する必要があります。したがって、${}_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

よって、地点Pを通る道順は、$15 \times 10 = 150$ 通りです。

(4) 地点Pも地点Qも通る道順

地点Aから地点Pまでの最短経路の数、地点Pから地点Qまでの最短経路の数、地点Qから地点Bまでの最短経路の数を掛け合わせます。

地点Aから地点Pまでは、(3)より15通りです。

地点Pから地点Qまでは、右に1回、上に1回移動する必要があります。したがって、${}_{2}C_1 = 2$ 通りです。

地点Qから地点Bまでは、右に1回、上に2回移動する必要があります。したがって、${}_{3}C_1 = 3$ 通りです。

よって、地点Pも地点Qも通る道順は、$15 \times 2 \times 3 = 90$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) すべての道順: 462 通り

(2) 地点Cを通る道順: 210 通り

(3) 地点Pを通る道順: 150 通り

(4) 地点Pも地点Qも通る道順: 90 通り