サイコロを3回投げ、奇数の目が出た回数1回につき500円もらえるゲームがある。このゲームの参加料が800円であるとき、このゲームに参加するのは得であると言えるかを判断する。

1. 問題の内容

サイコロを3回投げ、奇数の目が出た回数1回につき500円もらえるゲームがある。このゲームの参加料が800円であるとき、このゲームに参加するのは得であると言えるかを判断する。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを1回投げたときに奇数の目が出る確率を求める。

サイコロの目は1から6まであり、奇数は1, 3, 5の3つなので、奇数の目が出る確率は $1/2$ である。

次に、3回サイコロを投げる際に、奇数の目が出る回数（0回、1回、2回、3回）それぞれの確率を二項分布を用いて計算する。

$n=3$（試行回数）、$p=1/2$（成功確率）とする。

* 奇数の目が0回出る確率：${}_3C_0 (1/2)^0 (1/2)^3 = 1/8$

* 奇数の目が1回出る確率：${}_3C_1 (1/2)^1 (1/2)^2 = 3/8$

* 奇数の目が2回出る確率：${}_3C_2 (1/2)^2 (1/2)^1 = 3/8$

* 奇数の目が3回出る確率：${}_3C_3 (1/2)^3 (1/2)^0 = 1/8$

次に、期待値を計算する。

期待値 = (奇数の目が0回出る確率 * もらえる金額) + (奇数の目が1回出る確率 * もらえる金額) + (奇数の目が2回出る確率 * もらえる金額) + (奇数の目が3回出る確率 * もらえる金額)

もらえる金額は、奇数の目が$n$回出たとき$500n$円である。

期待値 $= (1/8 \times 0) + (3/8 \times 500) + (3/8 \times 1000) + (1/8 \times 1500) = 0 + 1500/8 + 3000/8 + 1500/8 = 6000/8 = 750$ 円

最後に、期待値と参加料を比較する。期待値が参加料より高ければ、参加するのは得であると言える。

3. 最終的な答え

期待値は750円であり、参加料は800円である。期待値750円 < 参加料800円なので、このゲームに参加するのは得であるとは言えない。