12本のくじの中に当たりくじが5本入っている。A, Bの2人が順に1本ずつくじを引く。ただし、引いたくじは元に戻さない。以下の確率を求める。 (1) Aが当たったとき、Bが当たる条件付き確率 (2) 2人とも外れる確率 (3) Bが当たる確率

1. 問題の内容

12本のくじの中に当たりくじが5本入っている。A, Bの2人が順に1本ずつくじを引く。ただし、引いたくじは元に戻さない。以下の確率を求める。

(1) Aが当たったとき、Bが当たる条件付き確率

(2) 2人とも外れる確率

(3) Bが当たる確率

2. 解き方の手順

(1) Aが当たったとき、Bが当たる条件付き確率を求める。

Aが当たる事象をA, Bが当たる事象をBとする。求める確率は $P_A(B)$である。

Aが当たったとき、残り11本のくじの中に当たりくじは4本残っている。したがって、

$P_A(B) = \frac{4}{11}$

(2) 2人とも外れる確率を求める。

Aが外れる確率は $P(\overline{A}) = \frac{12-5}{12} = \frac{7}{12}$

Aが外れたとき、残り11本のくじの中に外れくじは6本残っている。したがって、Bが外れる確率は $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{6}{11}$

よって、2人とも外れる確率は

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A})P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} = \frac{42}{132} = \frac{7}{22}$

(3) Bが当たる確率を求める。

Bが当たる事象は、Aが当たってBが当たる場合と、Aが外れてBが当たる場合の2つがある。

Aが当たってBが当たる確率は $P(A \cap B) = P(A)P_A(B) = \frac{5}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{20}{132}$

Aが外れてBが当たる確率は $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B) = \frac{7}{12} \times \frac{5}{11} = \frac{35}{132}$

したがって、Bが当たる確率は

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{20}{132} + \frac{35}{132} = \frac{55}{132} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{11}$

(2) $\frac{7}{22}$

(3) $\frac{5}{12}$