$a, b$ が正の整数で、$a + b = 4$ を満たすとき、整数 $2^{2} \times 3^{a} \times 4^{b}$ の正の約数の個数のうち最小となる個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$a, b$ が正の整数で、$a + b = 4$ を満たすとき、整数 $2^{2} \times 3^{a} \times 4^{b}$ の正の約数の個数のうち最小となる個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$4^b$を$2^{2b}$と書き換えることで、与えられた整数を以下のように変形します。

$2^{2} \times 3^{a} \times 4^{b} = 2^{2} \times 3^{a} \times 2^{2b} = 2^{2+2b} \times 3^{a}$

次に、$a + b = 4$より、$a = 4 - b$ となります。これを指数に代入すると、$2^{2+2b} \times 3^{4-b}$となります。

この数の約数の個数は$(2+2b+1)(4-b+1) = (2b+3)(5-b)$で表されます。

この式を$N(b)$とおくと、

$N(b) = (2b+3)(5-b) = -2b^2 + 7b + 15$ となります。

$a, b$ は正の整数なので、$a \ge 1$ かつ $b \ge 1$ である必要があります。$a + b = 4$より、$1 \le a \le 3$ かつ $1 \le b \le 3$です。

したがって、$b = 1, 2, 3$に対する$N(b)$の値を計算して、最小値を求めます。

$b=1$のとき、$N(1) = (2(1)+3)(5-1) = (5)(4) = 20$

$b=2$のとき、$N(2) = (2(2)+3)(5-2) = (7)(3) = 21$

$b=3$のとき、$N(3) = (2(3)+3)(5-3) = (9)(2) = 18$

したがって、最小の約数の個数は18個です。

3. 最終的な答え

18個