三角形 ABC において、線分 AD:DB = 2:1、AE:EC = 3:4 である。線分 BE と CD の交点を P、線分 AP と BC の交点を F とする。このとき、以下の比を求める。 (1) BF:FC (2) CP:PD (3) AP:PF

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いて説明します。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、線分 AD:DB = 2:1、AE:EC = 3:4 である。線分 BE と CD の交点を P、線分 AP と BC の交点を F とする。このとき、以下の比を求める。

(1) BF:FC

(2) CP:PD

(3) AP:PF

2. 解き方の手順

この問題を解くには、チェバの定理とメネラウスの定理を利用します。

(1) BF:FC を求める。

チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

与えられた条件を代入すると、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{4}{3} = 1$

$\frac{BF}{FC} = \frac{3}{8}$

(2) CP:PD を求める。

メネラウスの定理を三角形 ABD と直線 CF に適用すると、

$\frac{BC}{CF} \cdot \frac{FP}{PA} \cdot \frac{AD}{DB} = 1$

ここで、$\frac{BC}{CF} = \frac{BF+FC}{CF} = \frac{BF}{CF} + 1 = \frac{3}{8} + 1 = \frac{11}{8}$、$\frac{AD}{DB} = \frac{2}{1}$であるから、

$\frac{11}{8} \cdot \frac{FP}{PA} \cdot \frac{2}{1} = 1$

$\frac{FP}{PA} = \frac{4}{11}$

したがって、$\frac{AP}{PF} = \frac{11}{4}$

メネラウスの定理を三角形 BCE と直線 AD に適用すると、

$\frac{BA}{AD} \cdot \frac{DP}{PE} \cdot \frac{EC}{CB} = 1$

$\frac{EC}{CB} = \frac{EC}{EC+BE} = \frac{4}{7}$

ここで、$\frac{BA}{AD} = \frac{AD+DB}{AD} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$であるから、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{DP}{PE} \cdot \frac{4}{7} = 1$

$\frac{DP}{PE} = \frac{7}{6}$

したがって、$\frac{PE}{DP} = \frac{6}{7}$

メネラウスの定理を三角形 ADC と直線 BE に適用すると、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BF} \cdot \frac{FP}{PA} = 1$

次に、メネラウスの定理を三角形 ABE と直線 DC に適用すると、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FE} \cdot \frac{EC}{CA} = 1$

CP:PD を求めるために、メネラウスの定理を三角形 ABD と直線 CF に適用します。

$\frac{BC}{CF} \cdot \frac{FP}{PA} \cdot \frac{AD}{DB} = 1$

$\frac{BF}{FC} = \frac{3}{8}$ より、$\frac{BC}{CF} = \frac{BF+FC}{FC} = \frac{BF}{FC} + 1 = \frac{3}{8} + 1 = \frac{11}{8}$

また、(3) より $\frac{AP}{PF} = \frac{11}{4}$ だから、$\frac{FP}{PA} = \frac{4}{11}$

$\frac{AD}{DB} = \frac{2}{1}$

$\frac{11}{8} \cdot \frac{4}{11} \cdot \frac{2}{1} = 1$

メネラウスの定理を三角形 BCD と直線 AE に適用します。

$\frac{CE}{EB} \cdot \frac{BA}{AD} \cdot \frac{DP}{PC} = 1$

$\frac{AE}{EC} = \frac{3}{4}$ なので、$\frac{CE}{AC} = \frac{4}{7}$

$\frac{DP}{PC} = \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BA}{AD}$

$\frac{CP}{PD} = 8/3$

(3) AP:PF を求める。

メネラウスの定理を三角形 BCF と直線 AD に適用すると、

$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AP}{PF} \cdot \frac{FC}{CB} = 1$

$\frac{BD}{DA} = \frac{1}{2}$

$\frac{FC}{CB} = \frac{FC}{FC+BF} = \frac{1}{1+\frac{BF}{FC}} = \frac{1}{1+\frac{3}{8}} = \frac{8}{11}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{AP}{PF} \cdot \frac{8}{11} = 1$

$\frac{AP}{PF} = \frac{11}{4}$

3. 最終的な答え

(1) BF:FC = 3:8

(2) CP:PD = 8:3

(3) AP:PF = 11:4