多項式 $P(x)$ を $(x-2)^2$ で割ると余りが $x-2$ であり、$x+2$ で割ると余りが $12$ である。$P(x)$ を $(x-2)^2(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $(x-2)^2$ で割ると余りが $x-2$ であり、$x+2$ で割ると余りが $12$ である。$P(x)$ を $(x-2)^2(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)^2(x+2)$ で割ったときの余りは、2次以下の多項式となる。

余りを $ax^2+bx+c$ とすると、

$P(x) = (x-2)^2(x+2)Q(x) + ax^2+bx+c$ と表せる。

$P(x)$ を $(x-2)^2$ で割ったときの余りが $x-2$ であるから、$ax^2+bx+c$ を $(x-2)^2$ で割った余りも $x-2$ となる。

したがって、$ax^2+bx+c = a(x-2)^2 + x-2$ と表せる。

$P(x) = (x-2)^2(x+2)Q(x) + a(x-2)^2 + x-2$

$P(-2) = a(-2-2)^2 + (-2)-2 = 16a - 4$

$P(x)$ を $x+2$ で割ったときの余りが $12$ であるから、$P(-2) = 12$ である。

したがって、$16a-4 = 12$ より、$16a = 16$ なので、$a=1$

求める余りは、

$1(x-2)^2 + x-2 = x^2 - 4x + 4 + x - 2 = x^2 - 3x + 2$

3. 最終的な答え

$x^2 - 3x + 2$