$12x + 52y = 16$ $12x + 9y = -27$

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1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解く問題です。具体的には、以下の5つの連立方程式を解きます。

(1) $\begin{cases} 3x + 13y = 4 \\ 4x + 3y = -9 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} -5x - 2y = 2 \\ 3x + 7y = -36 \end{cases}$

(3) $\begin{cases} x - \frac{3}{2}y = 1 \\ \frac{8}{3}x + 7y = -1 \end{cases}$

(4) $\begin{cases} x - 2y + 3z = -1 \\ 4x + 3y - 4z = 12 \\ 6x - 4y + z = 11 \end{cases}$

(5) $\begin{cases} -2x + 5y - 3z = 4 \\ 3x - 5z = -29 \\ 2y - 7z = -24 \end{cases}$

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2. 解き方の手順

それぞれの連立方程式に対して、以下の手順で解きます。

**(1) 連立方程式 (1)**

1. 一方の変数を消去するために、それぞれの式を定数倍します。例えば、$x$を消去するために、1つ目の式を4倍、2つ目の式を3倍します。

$12x + 52y = 16$

$12x + 9y = -27$

2. 2つの式を引き算して、$x$を消去します。

$(12x + 52y) - (12x + 9y) = 16 - (-27)$

$43y = 43$

3. $y$について解きます。

$y = 1$

4. $y$の値を元の式（例えば、 $3x + 13y = 4$）に代入して、$x$について解きます。

$3x + 13(1) = 4$

$3x = -9$

$x = -3$

**(2) 連立方程式 (2)**

1. 一方の変数を消去するために、それぞれの式を定数倍します。例えば、$x$を消去するために、1つ目の式を3倍、2つ目の式を5倍します。

$-15x - 6y = 6$

$15x + 35y = -180$

2. 2つの式を足し算して、$x$を消去します。

$(-15x - 6y) + (15x + 35y) = 6 + (-180)$

$29y = -174$

3. $y$について解きます。

$y = -6$

4. $y$の値を元の式（例えば、 $-5x - 2y = 2$）に代入して、$x$について解きます。

$-5x - 2(-6) = 2$

$-5x + 12 = 2$

$-5x = -10$

$x = 2$

**(3) 連立方程式 (3)**

1. 1つ目の式を$x$について解きます。

$x = \frac{3}{2}y + 1$

2. $x$を2つ目の式に代入します。

$\frac{8}{3}(\frac{3}{2}y + 1) + 7y = -1$

$4y + \frac{8}{3} + 7y = -1$

$11y = -1 - \frac{8}{3}$

$11y = -\frac{11}{3}$

3. $y$について解きます。

$y = -\frac{1}{3}$

4. $y$の値を$x = \frac{3}{2}y + 1$に代入して、$x$について解きます。

$x = \frac{3}{2}(-\frac{1}{3}) + 1$

$x = -\frac{1}{2} + 1$

$x = \frac{1}{2}$

**(4) 連立方程式 (4)**

1. 1つ目の式から、$x$を他の変数で表します。

$x = 2y - 3z - 1$

2. これを2つ目と3つ目の式に代入します。

$4(2y - 3z - 1) + 3y - 4z = 12$

$6(2y - 3z - 1) - 4y + z = 11$

整理すると：

$11y - 16z = 16$

$8y - 17z = 17$

3. さらに、$y$を消去します。上の式を8倍、下の式を11倍します。

$88y - 128z = 128$

$88y - 187z = 187$

4. 引き算して、$z$について解きます。

$59z = -59$

$z = -1$

5. $z = -1$ を $11y - 16z = 16$に代入します。

$11y - 16(-1) = 16$

$11y = 0$

$y = 0$

6. $x = 2y - 3z - 1$ に $y = 0$ と $z = -1$ を代入します。

$x = 2(0) - 3(-1) - 1$

$x = 3 - 1$

$x = 2$

**(5) 連立方程式 (5)**

1. 2つ目の式から、$x$を$z$で表します。

$3x = 5z - 29$

$x = \frac{5z - 29}{3}$

2. 3つ目の式から、$y$を$z$で表します。

$2y = 7z - 24$

$y = \frac{7z - 24}{2}$

3. $x$と$y$を1つ目の式に代入します。

$-2(\frac{5z - 29}{3}) + 5(\frac{7z - 24}{2}) - 3z = 4$

4. 式を整理します。両辺に6をかけます。

$-4(5z - 29) + 15(7z - 24) - 18z = 24$

$-20z + 116 + 105z - 360 - 18z = 24$

$67z - 244 = 24$

$67z = 268$

$z = 4$

5. $x = \frac{5z - 29}{3}$に$z = 4$を代入します。

$x = \frac{5(4) - 29}{3} = \frac{20 - 29}{3} = \frac{-9}{3} = -3$

6. $y = \frac{7z - 24}{2}$に$z = 4$を代入します。

$y = \frac{7(4) - 24}{2} = \frac{28 - 24}{2} = \frac{4}{2} = 2$

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3. 最終的な答え

(1) $x = -3, y = 1$

(2) $x = 2, y = -6$

(3) $x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{3}$

(4) $x = 2, y = 0, z = -1$

(5) $x = -3, y = 2, z = 4$