3つの自然数 $a, b, c$ $(a < b < c)$ が条件A, B, Cをすべて満たすとき、 $(a, b, c)$ の組をすべて求める問題です。 条件A: $a, b, c$ の最大公約数は21である。 条件B: $b, c$ の最大公約数は63、最小公倍数は756である。 条件C: $a, b$ の最小公倍数は378である。

1. 問題の内容

3つの自然数 $a, b, c$ $(a < b < c)$ が条件A, B, Cをすべて満たすとき、 $(a, b, c)$ の組をすべて求める問題です。

条件A: $a, b, c$ の最大公約数は21である。

条件B: $b, c$ の最大公約数は63、最小公倍数は756である。

条件C: $a, b$ の最小公倍数は378である。

2. 解き方の手順

まず、条件Bから $b$ と $c$ を求めます。$b, c$ の最大公約数が63なので、$b = 63x$, $c = 63y$ (ただし、$x, y$ は互いに素な自然数で、$x < y$ ) と表せます。

$b, c$ の最小公倍数が756であることから、

$$bc / (b,c) = 756$$

$$(63x)(63y) / 63 = 756$$

$$63xy = 756$$

$$xy = 756 / 63 = 12$$

$x, y$ は互いに素なので、$(x, y) = (1, 12), (3, 4)$ となります。

したがって、

$(b, c) = (63, 756), (189, 252)$

次に、条件Aより、$a, b, c$ の最大公約数は21であることから、$a = 21p, b = 21q, c = 21r$ (ただし、$p, q, r$ は自然数) と表せます。

(i) $(b, c) = (63, 756)$ のとき、$b = 63 = 21 \cdot 3, c = 756 = 21 \cdot 36$ なので、$q = 3, r = 36$。$a, b, c$ の最大公約数は21なので、$p, 3, 36$ の最大公約数は1。$p$ は3の倍数でも2の倍数でもない自然数である。また、$a < b$ より、$21p < 63$、つまり $p < 3$。条件を満たす $p$ は存在しないため、不適。

(ii) $(b, c) = (189, 252)$ のとき、$b = 189 = 21 \cdot 9, c = 252 = 21 \cdot 12$ なので、$q = 9, r = 12$。$a, b, c$ の最大公約数は21なので、$p, 9, 12$ の最大公約数は1。$p$ は3の倍数ではない自然数である。また、$a < b$ より、$21p < 189$、つまり $p < 9$。

また、条件Cより、$a, b$ の最小公倍数は378なので、$378 = \frac{ab}{(a, b)} = \frac{(21p)(189)}{(a, 189)} = \frac{3969p}{(a, 189)}$

$378 \cdot (a, 189) = 3969p$

$(a, 189) = \frac{3969p}{378} = \frac{63p}{6} = \frac{21p}{2}$

$(a, 189)$ は自然数なので、$p$ は偶数でなければならない。$p < 9$ かつ $p$ は3の倍数でない偶数なので、$p = 2, 4, 8$。

$a = 21p$ なので、$a = 42, 84, 168$。

$p=2$ のとき、$a=42$、$(a, 189) = (42, 189) = 21 = (21\cdot 2)/2 = 21$, これは正しい。

$p=4$ のとき、$a=84$、$(a, 189) = (84, 189) = 21 = (21 \cdot 4)/2 = 42$, これは正しくない。

$p=8$ のとき、$a=168$、$(a, 189) = (168, 189) = 21 = (21 \cdot 8)/2 = 84$, これは正しくない。

したがって、$(a, b, c) = (42, 189, 252)$

3. 最終的な答え

(a, b, c) = (42, 189, 252)