3つの自然数 $a, b, c$ が与えられており、$a < b < c$ を満たす。 以下の3つの条件A, B, Cを同時に満たす $(a, b, c)$ の組をすべて求める問題です。 A: $a, b, c$ の最大公約数は21である。 B: $b, c$ の最大公約数は63、最小公倍数は756である。 C: $a, b$ の最小公倍数は378である。

1. 問題の内容

3つの自然数 $a, b, c$ が与えられており、$a < b < c$ を満たす。

以下の3つの条件A, B, Cを同時に満たす $(a, b, c)$ の組をすべて求める問題です。

A: $a, b, c$ の最大公約数は21である。

B: $b, c$ の最大公約数は63、最小公倍数は756である。

C: $a, b$ の最小公倍数は378である。

2. 解き方の手順

まず、条件Aより、$a = 21a', b = 21b', c = 21c'$ とおける。ここで、$a', b', c'$ は互いに素な自然数であり、$a' < b' < c'$ を満たす。

条件Bより、$b, c$ の最大公約数は63なので、$b = 63b'', c = 63c''$ とおける。ここで、$b''$ と $c''$ は互いに素な自然数であり、$b'' < c''$ を満たす。

また、$b, c$ の最小公倍数が756なので、$bc = (\text{gcd}(b, c))(\text{lcm}(b, c))$ が成り立つ。つまり、$63b'' \cdot 63c'' = 63 \cdot 756$ である。

整理すると、$63b''c'' = 756$ となり、$b''c'' = \frac{756}{63} = 12$ となる。

$b'' < c''$ かつ $b''$ と $c''$ は互いに素なので、$(b'', c'') = (1, 12), (3, 4)$ が候補となる。

したがって、$(b, c) = (63, 756), (189, 252)$ となる。

次に、条件Cより、$a, b$ の最小公倍数は378である。

$a = 21a', b = 21b'$ より、$a' < b'$ であり、$\text{lcm}(a, b) = \text{lcm}(21a', 21b') = 21 \text{lcm}(a', b') = 378$。

$\text{lcm}(a', b') = \frac{378}{21} = 18$ となる。

ケース1: $(b, c) = (63, 756)$ のとき。

$b = 63 = 21 \cdot 3$ なので、$b' = 3$。

$\text{lcm}(a', 3) = 18$ より、$a' = \frac{18 \cdot \text{gcd}(a', 3)}{3} = 6\text{gcd}(a',3)$。

$a' < b' = 3$ なので、$a' = 1, 2$ が考えられる。

- $a' = 1$ のとき、$\text{gcd}(a', 3) = 1$ となるはずだが、$6 \text{gcd}(a',3)=6 \neq 1$ なので不適。

- $a' = 2$ のとき、$\text{gcd}(a', 3) = 1$ となるはずだが、$6 \text{gcd}(a',3)=6 \neq 2$ なので不適。

$a' = 6$とすると、$\text{lcm}(6, 3) = 6 \neq 18$。

$a'=18k$とすると、$a >b$となるので、$a' = 1,2$以外になし。

しかし、$\text{lcm}(a', 3)=18$を満たす$a'$は存在しない。

ケース2: $(b, c) = (189, 252)$ のとき。

$b = 189 = 21 \cdot 9$ なので、$b' = 9$。

$\text{lcm}(a', 9) = 18$ より、$a' = \frac{18 \cdot \text{gcd}(a', 9)}{9} = 2\text{gcd}(a',9)$。

$a' < b' = 9$ なので、$a' = 1, 2, \dots, 8$ が考えられる。

- $a' = 1$ のとき、$2 \text{gcd}(1,9)=2$。$\text{lcm}(1, 9) = 9 \neq 18$ なので不適。

- $a' = 2$ のとき、$2 \text{gcd}(2,9)=2$。$\text{lcm}(2, 9) = 18$ となるので適合。

- $a' = 3$ のとき、$2 \text{gcd}(3,9)=6$。$\text{lcm}(3, 9) = 9 \neq 18$ なので不適。

- $a' = 4$ のとき、$2 \text{gcd}(4,9)=2$。$\text{lcm}(4, 9) = 36 \neq 18$ なので不適。

- $a' = 5$ のとき、$2 \text{gcd}(5,9)=2$。$\text{lcm}(5, 9) = 45 \neq 18$ なので不適。

- $a' = 6$ のとき、$2 \text{gcd}(6,9)=6$。$\text{lcm}(6, 9) = 18$ となるので適合。ただし、$\text{gcd}(a', b', c') = \text{gcd}(2, 9, 252/21) = \text{gcd}(a', b', c') = \text{gcd}(2,9,12) =1$を満たす。

- $a' = 6$のとき，$a' =6, b' =9, c'=12$より、$a=126$, $b=189, c =252$. $\text{gcd}(a,b,c) = \text{gcd}(126, 189, 252) = 63 \neq 21$。不適。

$a' = 1,2,3,4,5,6,7,8$の中で、$\text{gcd}(a', 9)=1$または$3$.

$\text{gcd}(1,9)=1, \text{gcd}(2,9)=1, \text{gcd}(4,9)=1, \text{gcd}(5,9)=1, \text{gcd}(7,9)=1, \text{gcd}(8,9)=1$,

$\text{gcd}(3,9)=3, \text{gcd}(6,9)=3$.

したがって、$a' = 2$ のときのみ条件を満たす。このとき、$a = 21 \cdot 2 = 42$。

$(a, b, c) = (42, 189, 252)$。

3. 最終的な答え

(42, 189, 252)