二項係数の定義 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ を用いて、以下の4つの等式が成り立つことを示す。 1. $\binom{n}{0} = 1, \binom{n}{1} = n$

1. 問題の内容

二項係数の定義 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ を用いて、以下の4つの等式が成り立つことを示す。

1. $\binom{n}{0} = 1, \binom{n}{1} = n$

2. $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

3. $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$

4. $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$

2. 解き方の手順

1. $\binom{n}{0} = 1, \binom{n}{1} = n$ を示す。

$\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = 1$

$\binom{n}{1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{1 \cdot (n-1)!} = n$

2. $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ を示す。

$\binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}$

3. $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ を示す。

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$

$= \frac{n!(n-k+1)}{k!(n-k)!(n-k+1)} + \frac{n!k}{k(k-1)!(n-k+1)!} = \frac{n!(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} + \frac{n!k}{k!(n-k+1)!}$

$= \frac{n!(n-k+1) + n!k}{k!(n-k+1)!} = \frac{n!(n-k+1+k)}{k!(n-k+1)!} = \frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!} = \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} = \binom{n+1}{k}$

4. $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$ を示す。

$k\binom{n}{k} = k \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{k \cdot n!}{k(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

$n\binom{n-1}{k-1} = n \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

したがって、$k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$

3. 最終的な答え

1. $\binom{n}{0} = 1, \binom{n}{1} = n$

2. $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

3. $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$

4. $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$