1から20までの整数が一つずつ書かれた20枚のカードがある。カードをよくきって1枚引く。 引いたカードの整数が8以下であるという事象をA、3の倍数であるという事象をBとするとき、次の条件付き確率を求めよ。 (1) $P_A(B)$ (2) $P_B(A)$

## 問題94

1. 問題の内容

1から20までの整数が一つずつ書かれた20枚のカードがある。カードをよくきって1枚引く。

引いたカードの整数が8以下であるという事象をA、3の倍数であるという事象をBとするとき、次の条件付き確率を求めよ。

(1) $P_A(B)$

(2) $P_B(A)$

2. 解き方の手順

(1) $P_A(B)$ について

$P_A(B)$ は、事象Aが起こったという条件の下で事象Bが起こる確率である。

事象Aは「引いたカードの整数が8以下である」なので、事象Aの起こる確率は $P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ である。

事象Aと事象Bが同時に起こる確率は、「引いたカードの整数が8以下で、かつ3の倍数である」ことである。8以下の3の倍数は3と6の2つなので、$P(A \cap B) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ である。

したがって、$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1}{4}$ である。

(2) $P_B(A)$ について

$P_B(A)$ は、事象Bが起こったという条件の下で事象Aが起こる確率である。

事象Bは「引いたカードの整数が3の倍数である」なので、事象Bの起こる確率は、$P(B) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ である。3の倍数は3, 6, 9, 12, 15, 18の6個である。

事象Bと事象Aが同時に起こる確率は、「引いたカードの整数が3の倍数で、かつ8以下である」ことである。8以下の3の倍数は3と6の2つなので、$P(B \cap A) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ である。

したがって、$P_B(A) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $P_A(B) = \frac{1}{4}$

(2) $P_B(A) = \frac{1}{3}$