袋Aには白い碁石が20個、黒い碁石が80個入っています。袋Bには白い碁石が60個、黒い碁石が40個入っています。サイコロを1個投げて、1または2の目が出れば袋A、それ以外の目が出れば袋Bを選び、その中から碁石を1個取り出します。 (1) 取り出した碁石が白である確率を求めなさい。 (2) 取り出した碁石が白であったとき、それが袋Aのものである確率を求めなさい。

1. 問題の内容

袋Aには白い碁石が20個、黒い碁石が80個入っています。袋Bには白い碁石が60個、黒い碁石が40個入っています。サイコロを1個投げて、1または2の目が出れば袋A、それ以外の目が出れば袋Bを選び、その中から碁石を1個取り出します。

(1) 取り出した碁石が白である確率を求めなさい。

(2) 取り出した碁石が白であったとき、それが袋Aのものである確率を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、袋Aが選ばれる確率と袋Bが選ばれる確率を求めます。サイコロを1回投げて、1または2の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。したがって、袋Aが選ばれる確率は $\frac{1}{3}$ です。それ以外の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ なので、袋Bが選ばれる確率は $\frac{2}{3}$ です。

次に、袋Aから白い碁石を取り出す確率を求めます。袋Aには全部で100個の碁石があり、そのうち白い碁石は20個なので、白い碁石を取り出す確率は $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ です。

同様に、袋Bから白い碁石を取り出す確率を求めます。袋Bには全部で100個の碁石があり、そのうち白い碁石は60個なので、白い碁石を取り出す確率は $\frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ です。

したがって、取り出した碁石が白である確率は、袋Aが選ばれて白い碁石を取り出す確率と、袋Bが選ばれて白い碁石を取り出す確率の和で求められます。

$P(\text{白}) = P(\text{A}) \times P(\text{白}|\text{A}) + P(\text{B}) \times P(\text{白}|\text{B})$

$P(\text{白}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{15} + \frac{6}{15} = \frac{7}{15}$

(2)

取り出した碁石が白であったとき、それが袋Aのものである確率を求めます。これは条件付き確率の問題なので、ベイズの定理を使います。求める確率は、$P(\text{A}|\text{白})$ です。

$P(\text{A}|\text{白}) = \frac{P(\text{白}|\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{白})}$

$P(\text{A}|\text{白}) = \frac{\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}}{\frac{7}{15}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{7}{15}} = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 取り出した碁石が白である確率は $\frac{7}{15}$ です。

(2) 取り出した碁石が白であったとき、それが袋Aのものである確率は $\frac{1}{7}$ です。