与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める問題です。変数変換 $y = x + \frac{1}{x}$ を行い、与えられた4次方程式を $y^2 + ay + b = 0$ の形に変形したときの $a$ と $b$ の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める問題です。変数変換 $y = x + \frac{1}{x}$ を行い、与えられた4次方程式を $y^2 + ay + b = 0$ の形に変形したときの $a$ と $b$ の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ を $x^2$ で割ります。$x \neq 0$ であることを確認します。（$x=0$ は元の4次方程式の解ではありません）

$x^2 + 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

次に、$y = x + \frac{1}{x}$ を用いて、式を整理します。

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = y^2 - 2$

したがって、

$(y^2 - 2) + 2y - 1 = 0$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

与えられた式 $y^2 + ay + b = 0$ と比較すると、$a = 2$ かつ $b = -3$ が得られます。

3. 最終的な答え

a = 2

b = -3