三角形ABCがあり、点Dは辺ABの中点、点Eは辺ACの中点です。また、線分DEと線分BFの交点をFとします。DF:FC=3:2であり、線分BCの長さが6cmのとき、線分BDの長さをxcmとするとき、xの値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、点Dは辺ABの中点、点Eは辺ACの中点です。また、線分DEと線分BFの交点をFとします。DF:FC=3:2であり、線分BCの長さが6cmのとき、線分BDの長さをxcmとするとき、xの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AD=DB, AE=ECより、DEは三角形ABCの中点連結定理の線分です。

したがって、DEはBCと平行であり、DE = 1/2 BC が成り立ちます。よって、DE = 1/2 * 6cm = 3cmです。

次に、DF:FC = 3:2より、DF:DC=3:(3+2)=3:5となります。

三角形BDFと三角形BGCにおいて、

・角DBF=角CBG(共通)

・角BDF=角BCG(平行線の同位角)

よって、三角形BDF相似三角形BGCであることがわかります。

相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、

BD : BC = DF : EC

ここでEC=AEなのでDF:EC=DF:(1/2AC)が成り立ちます。

代わりに、DF:DC=3:5を使うことを考えます。ここでDC=DE+ECです。この式からxを求めることは難しいです。

ここで、改めて三角形BDFと三角形BGCが相似であることを利用します。

BD : BC = DF : CF

ここで、BD=x, BC=6, DF:CF=3:2 なので

x : 6 = 3 : 2

2x=18

x=9

3. 最終的な答え

9 cm