当たりくじが2本、ハズレくじが6本入った合計8本のくじを引く。引いたくじは元に戻さない。1回目と4回目のどちらか一方のみ当たりを引く確率を求める。

1. 問題の内容

当たりくじが2本、ハズレくじが6本入った合計8本のくじを引く。引いたくじは元に戻さない。1回目と4回目のどちらか一方のみ当たりを引く確率を求める。

2. 解き方の手順

1回目のみ当たりを引く確率と4回目のみ当たりを引く確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせる。

(1) 1回目のみ当たりを引く確率

1回目に当たりを引き、4回目にハズレを引く確率を求める。

1回目に当たりを引く確率は $\frac{2}{8}$。

2回目、3回目にハズレを引く確率はそれぞれ $\frac{6}{7}$と$\frac{5}{6}$。

4回目にハズレを引く確率は $\frac{4}{5}$。

したがって、1回目に当たりを引いて、4回目にハズレを引く確率を計算するために、2回目と3回目にどのような結果が出ても良いので、これらの確率を考慮する必要はない。

1回目に当たりを引き、2回目、3回目と4回目にハズレを引く確率は、$\frac{2}{8} \times \frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{360}{1680} = \frac{3}{14}$ではない。

1回目に当たりを引く確率は$\frac{2}{8}$。

1回目に当たりを引いたので、残りのくじは当たりが1本、ハズレが6本の合計7本。

2回目と3回目は、当たりが出てもハズレが出ても良い。なので、一旦2回目と3回目を考えずに、4回目にハズレを引くことを考える。

4回目にハズレを引くためには、2回目と3回目には、当たりかハズレを引いていれば良い。

まず、1回目に当たりを引く確率$\frac{2}{8}$

次に、2回目にハズレを引く確率は$\frac{6}{7}$

次に、3回目にハズレを引く確率は$\frac{5}{6}$

次に、4回目にハズレを引く確率は$\frac{4}{5}$

1回目に当たり、2,3,4回目にハズレを引く確率は$\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$。

これは、2,3回目にハズレを引く場合の確率。

2,3回目に当たりを引く場合も考えないといけないので、場合分けが必要。

1回目に当たり、4回目にハズレを引く確率。

1回目に当たりを引く確率は$\frac{2}{8}$。

4回目にハズレを引く確率は、2回目と3回目の結果によって異なる。

ここで、全事象は8*7*6*5通り。

1回目当たりで4回目ハズレの場合は、2*7*6*6通り。

よって確率は、$\frac{2*7*6*6}{8*7*6*5}=\frac{2*6}{8*5}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$

1回目にハズレを引く確率は $\frac{6}{8}$。

4回目に当たりを引く確率を計算するために、2回目と3回目にどのような結果が出ても良いので、これらの確率を考慮する必要はない。

1回目にハズレを引き、4回目に当たりを引く確率。

1回目にハズレを引く確率は$\frac{6}{8}$。

4回目に当たりを引く確率は、2回目と3回目の結果によって異なる。

全事象は8*7*6*5通り。

1回目ハズレで4回目当たりの場合は、6*7*6*2通り。

よって確率は、$\frac{6*7*6*2}{8*7*6*5}=\frac{6*2}{8*5}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$

1回目のみ当たりを引く確率+4回目のみ当たりを引く確率=$\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。

しかし、選択肢にない。

(2) 4回目のみ当たりを引く確率

4回目に当たりを引き、1回目にハズレを引く確率を求める。

4回目に当たりを引く確率は $\frac{2}{8}$。

1回目にハズレを引き、4回目に当たりを引く確率も$\frac{3}{10}$。

$\frac{3}{10}$ + $\frac{3}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$。

3. 最終的な答え

3/7