与えられた式 $4x^2 + 4ax - 3a^2 + 2x + 7a - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 + 4ax - 3a^2 + 2x + 7a - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理します。

$4x^2 + 4ax + 2x - 3a^2 + 7a - 2$

$= 4x^2 + (4a+2)x - (3a^2 - 7a + 2)$

$= 4x^2 + 2(2a+1)x - (3a-1)(a-2)$

次に、たすき掛けで因数分解できるか考えます。

$(2x+pa+q)(2x+ra+s)$の形になると仮定し、係数と定数を比較します。

$4x^2 + (2(p+r)a+2(q+s))x + (pra^2 + (ps+qr)a + qs)$

$- (3a-1)(a-2) = -(3a^2 - 6a - a + 2) = -3a^2 + 7a - 2$なので、

$pra^2 + (ps+qr)a + qs = -3a^2 + 7a - 2$

$4x^2 + (4a+2)x - 3a^2 + 7a - 2$ を因数分解することを考えます。

$4x^2 + (4a+2)x - (3a^2 - 7a + 2) = (2x+Aa+B)(2x+Ca+D)$と置きます。

係数比較すると

$A+C = 2$, $B+D = 1$, $(Aa+B)(Ca+D) = ACa^2 + (AD+BC)a + BD = -3a^2 + 7a - 2$

$AC = -3$, $AD+BC = 7$, $BD = -2$

$(2x + 3a - 1)(2x - a + 2) = 4x^2 + 4ax + 4x + 6ax - 3a^2 + 4a - 2x + a - 2 = 4x^2 + 4ax + 2x - 3a^2 + 5a - 2$

これは違う

$4x^2 + (4a+2)x -(3a-1)(a-2) = (ax+b)(cx+d)$

$ac=4, ad+bc = 4a+2, bd = -(3a-1)(a-2)$

$(2x-a+2)(2x+3a-1) = 4x^2+6ax-2x-2ax-3a^2+a+4x+6a-2 = 4x^2+4ax+2x-3a^2+7a-2$

3. 最終的な答え

$(2x - a + 2)(2x + 3a - 1)$