与えられた積分を計算します。 $$ \int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

2. 解き方の手順

まず、$x \sin x + 9 \cos x$ を微分してみます。

$$\frac{d}{dx} (x \sin x + 9 \cos x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$$

次に、$\frac{x \cos x - 8 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$ を微分してみます。

$$\frac{d}{dx} \left(\frac{x \cos x - 8 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}\right) = \frac{(x \sin x + 9 \cos x)(-x \sin x + \cos x - 8 \cos x) - (x \cos x - 8 \sin x)(x \cos x + 9 \cos x - 9 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{(x \sin x + 9 \cos x)(\cos x - x \sin x - 8 \cos x) - (x \cos x - 8 \sin x)(x \cos x - 9 \sin x + 9 \cos x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{(x \sin x + 9 \cos x)(-7 \cos x - x \sin x) - (x \cos x - 8 \sin x)(x \cos x + 9 \cos x - 9 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{-7x \sin x \cos x - x^2 \sin^2 x - 63 \cos^2 x - 9x \sin x \cos x - (x^2 \cos^2 x + 9x \cos^2 x - 9x \sin x \cos x - 8x \sin x \cos x - 72 \sin x \cos x + 72 \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{-16x \sin x \cos x - x^2 \sin^2 x - 63 \cos^2 x - (x^2 \cos^2 x + 9x \cos^2 x - 17x \sin x \cos x - 72 \sin x \cos x + 72 \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

ここで、$f(x) = \frac{\sin x - \frac{x}{9} \cos x}{\cos x + \frac{x}{9} \sin x}$ と仮定します。

$$\frac{x \cos x - 9 \sin x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{(x^2 + 81)(\frac{\sin x}{9} - \frac{x}{81} \cos x)}{9(\frac{x}{9} \sin x + \cos x)^2}$$

$$= \frac{1}{9} \int \frac{x^2 \cos x \sin x + x(x \sin x + 9 \cos x) }{(x \sin x + 9 \cos x)} dx$$

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{x \sin x + 9 \cos x - x(\sin x + x \cos x - 9 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{9 \cos x - x^2 \cos x + 9 x \sin x }{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\int \frac{x^2+72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{x \sin x - 9 \cos x}{x \sin x + 9 \cos x}$$

最終的な答えは

$$\frac{x \sin x - 9 \cos x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{x \sin x - 9 \cos x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$