1から7までの数字が書かれた7枚のカードから2枚を同時に取り出し、大きい順に並べて2桁の整数を作る。この整数が奇数となる確率を求める。

1. 問題の内容

1から7までの数字が書かれた7枚のカードから2枚を同時に取り出し、大きい順に並べて2桁の整数を作る。この整数が奇数となる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、2枚のカードを取り出す場合の総数を計算する。

7枚のカードから2枚を選ぶ組み合わせなので、総数は ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。

次に、奇数になる場合を考える。2桁の整数が奇数になるためには、一の位が奇数である必要がある。

カードにある奇数は1, 3, 5, 7の4つ。

以下、百の位に来る数字で場合分けして考える。

* 一の位が7の場合：十の位は1から6のどれでも良い。ただし、一の位が7なので、1から6のうち7より大きい数字（つまり何もない）は選べない。よって、6,5,4,3,2,1の6つから選べるが、7より小さい数を選ぶ必要があるので、選べるのは1,2,3,4,5,6のいずれかである。このうち、1,3,5が奇数である。なので、7と組み合わせる事ができる十の位の数字は、{6,5,4,3,2,1}の6個である。

よって6通り。

* 一の位が5の場合：十の位は1から4のどれでも良い。ただし、一の位が5なので、1から4のうち5より大きい数字(つまり何もない)は選べない。よって、6,7のいずれかである。なので、5と組み合わせる事ができる十の位の数字は、{6,7}の2個である。よって2通り。

* 一の位が3の場合：十の位は1または2。ただし、一の位が3なので、1または2のうち3より大きい数字は選べない。よって、4,5,6,7のいずれかである。なので、3と組み合わせる事ができる十の位の数字は、{4,5,6,7}の4個である。よって4通り。

* 一の位が1の場合：十の位は何もない。ただし、一の位が1なので、1より大きい数字は選べない。よって、2,3,4,5,6,7のいずれかである。なので、1と組み合わせる事ができる十の位の数字は、{2,3,4,5,6,7}の6個である。よって6通り。

奇数となる場合は、6 + 2 + 4 + 6 = 18通り。

したがって、奇数となる確率は $\frac{18}{21} = \frac{6}{7}$

これは間違いです。

奇数となるには、一の位が奇数である必要があります。

一の位が奇数となる組み合わせを考えます。

2つの数を選び、大きい方を十の位、小さい方を一の位にするので、

一の位の数字は小さい数字になります。

奇数となる組み合わせは以下の通りです。

(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,3), (6,5), (7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6)

組み合わせの総数は ${}_7C_2 = 21$

奇数となる組み合わせの数は、

{2,4,6}から一つ選ぶ場合、奇数の{1,3,5,7}から一つ選ぶ。3*4=12通り

{1,3,5,7}から二つ選ぶ。${}_4C_2 = 6$通り

よって、12+6=18通り

18通りではない

一の位が奇数となる組み合わせは、

(7, x), (5, x), (3, x), (1, x)で、xはそれぞれより小さい数字。

(7, 1), (7, 3), (7, 5) : 3通り

(6, x)

(5, 1), (5, 3) : 2通り

(4, x)

(3, 1) : 1通り

(2, x)

(1, x)

一の位が奇数の場合

7: 1, 3, 5 (3個)

5: 1, 3 (2個)

3: 1 (1個)

それぞれの組み合わせの合計は 3 + 2 + 1 = 6個

全部の組み合わせは${}_7C_2$ = 21通り

$x > y$なので組み合わせの順番は気にしない。

奇数になる確率は、$6 / 21 = 2/7$

選択肢の中にありません。

まず全事象は7枚から2枚選ぶので、${}_7 C_2 = 21$通り。

奇数となるためには、一の位が奇数である必要があります。

組み合わせを書き出すと、

(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,3), (6,5), (7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6)

一の位が奇数になる組み合わせは、

21, 31, 32, 41, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 63, 65, 71, 72, 73, 74, 75, 76

大きい順に並べると、

(2,1) -> 21

(3,1) -> 31

(3,2) -> 32

(4,1) -> 41

(4,3) -> 43

(5,1) -> 51

(5,2) -> 52

(5,3) -> 53

(5,4) -> 54

(6,1) -> 61

(6,3) -> 63

(6,5) -> 65

(7,1) -> 71

(7,2) -> 72

(7,3) -> 73

(7,4) -> 74

(7,5) -> 75

(7,6) -> 76

奇数になるのは、

21, 31, 41, 43, 51, 53, 61, 63, 65, 71, 73, 75の12通り。

よって、確率は $12/21 = 4/7$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{7}$