問題49：三角形ABCにおいて、$A = 30^\circ$, $a = 1$, $c = \sqrt{3}$のとき、角$B$と角$C$の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題49：三角形ABCにおいて、$A = 30^\circ$, $a = 1$, $c = \sqrt{3}$のとき、角$B$と角$C$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いることで、角$C$を求めることができます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

与えられた値を代入すると、

$\frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin C}$

$\sin C = \sqrt{3} \sin 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$C = 60^\circ$ または $C = 120^\circ$となります。

次に、角$B$を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$A + B + C = 180^\circ$です。

(i) $C = 60^\circ$のとき：

$30^\circ + B + 60^\circ = 180^\circ$

$B = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

(ii) $C = 120^\circ$のとき：

$30^\circ + B + 120^\circ = 180^\circ$

$B = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$

したがって、$C = 60^\circ$のとき、$B = 90^\circ$、$C = 120^\circ$のとき、$B = 30^\circ$となります。

3. 最終的な答え

$B = 90^\circ$, $C = 60^\circ$ または $B = 30^\circ$, $C = 120^\circ$