数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項と漸化式が以下のようになっています。 $a_1 = 2$ $a_{n+1} = 3a_n + 4$ この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項と漸化式が以下のようになっています。

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = 3a_n + 4$

この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を特性方程式を使って解きます。特性方程式は、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ において、$a_{n+1}$と$a_n$を$x$で置き換えたものです。

$x = 3x + 4$

これを解くと、

$-2x = 4$

$x = -2$

したがって、漸化式は以下のように変形できます。

$a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$

ここで、$b_n = a_n + 2$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は、

$b_{n+1} = 3b_n$

となり、これは公比が3の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は、

$b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$

したがって、$b_n$ の一般項は、

$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}$

$b_n = a_n + 2$ であるから、$a_n = b_n - 2$ となります。

よって、$a_n$ の一般項は、

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$