(1) 正の整数 $x$ が3の倍数でないとき、$x^2$ を3で割った余りは1であることを示す。 (2) $x, y, z$ は $x^2 + y^2 = z^2$ を満たす正の整数とする。このとき、$x, y$ の少なくとも一方は3の倍数であることを背理法を用いて示す。

1. 問題の内容

(1) 正の整数 $x$ が3の倍数でないとき、$x^2$ を3で割った余りは1であることを示す。

(2) $x, y, z$ は $x^2 + y^2 = z^2$ を満たす正の整数とする。このとき、$x, y$ の少なくとも一方は3の倍数であることを背理法を用いて示す。

2. 解き方の手順

(1)

正の整数 $x$ が3の倍数でないとき、$x$ は $3k+1$ または $3k+2$ ( $k$ は整数) と表せる。

(i) $x = 3k+1$ のとき

$x^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

$3k^2 + 2k$ は整数なので、$x^2$ を3で割った余りは1である。

(ii) $x = 3k+2$ のとき

$x^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

$3k^2 + 4k + 1$ は整数なので、$x^2$ を3で割った余りは1である。

(i), (ii) より、正の整数 $x$ が3の倍数でないとき、$x^2$ を3で割った余りは1である。

(2)

背理法を用いる。$x, y$ がともに3の倍数でないと仮定する。

このとき、$x^2 \equiv 1 \pmod{3}$ かつ $y^2 \equiv 1 \pmod{3}$ である。

よって、$x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$ となる。

一方、$z^2 = x^2 + y^2$ であり、$z^2 \equiv 0 \pmod{3}$ または $z^2 \equiv 1 \pmod{3}$ である。

したがって、$z^2 \equiv 2 \pmod{3}$ となることはない。

これは矛盾である。

よって、$x, y$ の少なくとも一方は3の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) 正の整数 $x$ が3の倍数でないとき、$x^2$ を3で割った余りは1である。

(2) $x, y$ の少なくとも一方は3の倍数である。