三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $c = 2$, $C = 45^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $c = 2$, $C = 45^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$ を立てます。

与えられた値を代入すると、

$2^2 = a^2 + (\sqrt{2})^2 - 2a\sqrt{2}\cos{45^\circ}$

$4 = a^2 + 2 - 2a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$4 = a^2 + 2 - 2a$

$a^2 - 2a - 2 = 0$

この2次方程式を解きます。

$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}$

$a = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$a = 1 \pm \sqrt{3}$

$a$は三角形の辺の長さなので、$a > 0$でなければなりません。

$1 + \sqrt{3} > 0$であり、$1 - \sqrt{3} < 0$なので、$a = 1 + \sqrt{3}$となります。

3. 最終的な答え

$a = 1 + \sqrt{3}$