ユークリッドの互除法を用いて、$5x - 7y = 1$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つける。

1. 問題の内容

ユークリッドの互除法を用いて、$5x - 7y = 1$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つける。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法を用いて、5と7の最大公約数を求める。

$7 = 5 \cdot 1 + 2$

$5 = 2 \cdot 2 + 1$

$2 = 1 \cdot 2 + 0$

最大公約数は1である。次に、上記の関係式を逆順にたどって、$5x - 7y = 1$ の形にする。

$1 = 5 - 2 \cdot 2$

$1 = 5 - 2 \cdot (7 - 5 \cdot 1)$

$1 = 5 - 2 \cdot 7 + 2 \cdot 5$

$1 = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 7$

$1 = 5 \cdot 3 - 7 \cdot 2$

したがって、$x=3$、$y=2$ が解の一つである。

3. 最終的な答え

$x = 3, y = 2$