$a, b, c$ は整数であり、$a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つとき、$a, b$ のうち少なくとも一方が偶数であることを証明します。ただし、整数 $n$ について、$n^2$ を 4 で割った余りは 0 または 1 であることを証明なしに用いて良いです。

1. 問題の内容

$a, b, c$ は整数であり、$a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つとき、$a, b$ のうち少なくとも一方が偶数であることを証明します。ただし、整数 $n$ について、$n^2$ を 4 で割った余りは 0 または 1 であることを証明なしに用いて良いです。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。$a$ と $b$ がともに奇数であると仮定します。

$a = 2m + 1$、$b = 2n + 1$ （$m, n$ は整数）と表せます。

このとき、

$a^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$

$b^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$

よって、

$a^2 + b^2 = (4m^2 + 4m + 1) + (4n^2 + 4n + 1) = 4(m^2 + m + n^2 + n) + 2$

これは 4 で割ると 2 余る数です。

一方、$c^2$ は 4 で割ると 0 または 1 余る数です。

したがって、$a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つためには、$a^2 + b^2$ と $c^2$ が 4 で割った余りが等しくなければならないため、矛盾が生じます。

よって、$a$ と $b$ がともに奇数であるという仮定は誤りであり、$a, b$ のうち少なくとも一方は偶数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

$a, b$ のうち少なくとも一方は偶数である。