以下の4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。 (1) 有理数と無理数の和は無理数である。 (2) 無理数と無理数の和は無理数である。 (3) 有理数と無理数の積は無理数である。 (4) 無理数と無理数の積は無理数である。

1. 問題の内容

以下の4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。

(1) 有理数と無理数の和は無理数である。

(2) 無理数と無理数の和は無理数である。

(3) 有理数と無理数の積は無理数である。

(4) 無理数と無理数の積は無理数である。

2. 解き方の手順

(1) 有理数と無理数の和

有理数を $a$、無理数を $b$ とすると、$a+b$ が有理数であると仮定する。このとき、$a+b = c$ (cは有理数) と表せる。

すると、$b = c - a$ となる。$c$と$a$は有理数なので、$c-a$も有理数となる。

しかし、$b$は無理数であるから矛盾する。したがって、$a+b$ は無理数である。

(2) 無理数と無理数の和

反例として、$\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ を考える。これらはどちらも無理数だが、

$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ となり、0は有理数である。

(3) 有理数と無理数の積

有理数を $a$、無理数を $b$ とする。ただし、$a \neq 0$ とする。$ab$ が有理数であると仮定する。このとき、$ab = c$ (cは有理数) と表せる。

すると、$b = \frac{c}{a}$ となる。$c$と$a$は有理数なので、$\frac{c}{a}$も有理数となる。

しかし、$b$は無理数であるから矛盾する。したがって、$a \neq 0$のとき、$ab$ は無理数である。

ここで、$a=0$の場合は、$ab=0$となり有理数となる。

(4) 無理数と無理数の積

反例として、$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ を考える。これらはどちらも無理数だが、

$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ となり、2は有理数である。

3. 最終的な答え

(1) 正しい

(2) 正しくない。反例：$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$

(3) 正しくない。反例：$0 \times \sqrt{2} = 0$

(4) 正しくない。反例：$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$