整数 $n$ に対して、$4n^2 + 1$ が3で割り切れないことを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、$4n^2 + 1$ が3で割り切れないことを証明する。

2. 解き方の手順

整数 $n$ は、ある整数 $k$ を用いて、$3k$, $3k+1$, $3k+2$ のいずれかの形で表すことができる。それぞれのケースについて、$4n^2 + 1$ が3で割り切れるかどうかを調べる。

* ケース1: $n = 3k$ のとき

$4n^2 + 1 = 4(3k)^2 + 1 = 4(9k^2) + 1 = 36k^2 + 1 = 3(12k^2) + 1$

これは3で割ると1余る。

* ケース2: $n = 3k+1$ のとき

$4n^2 + 1 = 4(3k+1)^2 + 1 = 4(9k^2 + 6k + 1) + 1 = 36k^2 + 24k + 4 + 1 = 36k^2 + 24k + 5 = 3(12k^2 + 8k + 1) + 2$

これは3で割ると2余る。

* ケース3: $n = 3k+2$ のとき

$4n^2 + 1 = 4(3k+2)^2 + 1 = 4(9k^2 + 12k + 4) + 1 = 36k^2 + 48k + 16 + 1 = 36k^2 + 48k + 17 = 3(12k^2 + 16k + 5) + 2$

これは3で割ると2余る。

いずれのケースでも、$4n^2 + 1$ は3で割り切れない。

3. 最終的な答え

したがって、整数 $n$ に対して、$4n^2 + 1$ は3で割り切れない。