$k = n^2 - 1$とするとき、$n$が3以上の奇数のとき、$k$は8の倍数になることを証明する。

1. 問題の内容

$k = n^2 - 1$とするとき、$n$が3以上の奇数のとき、$k$は8の倍数になることを証明する。

2. 解き方の手順

$n$は3以上の奇数なので、$n = 2m + 1$（$m$は1以上の整数）と表せる。

このとき、

$k = n^2 - 1 = (2m + 1)^2 - 1$

$k = 4m^2 + 4m + 1 - 1 = 4m^2 + 4m = 4m(m + 1)$

$m$と$m + 1$は連続する整数なので、どちらか一方は偶数である。したがって、$m(m + 1)$は偶数である。

よって、$m(m + 1) = 2l$（$l$は整数）と表せる。

$k = 4m(m + 1) = 4(2l) = 8l$

$k$は8の整数倍で表せるので、$k$は8の倍数である。

3. 最終的な答え

したがって、$n$が3以上の奇数のとき、$k = n^2 - 1$は8の倍数となる。