3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数と3桁で最大の数を求めよ。

1. 問題の内容

3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数と3桁で最大の数を求めよ。

2. 解き方の手順

求める自然数を $x$ とします。

問題文より、以下の合同式が成り立ちます。

$x \equiv 2 \pmod{3}$

$x \equiv 1 \pmod{5}$

$x \equiv 6 \pmod{7}$

まず、$x \equiv 2 \pmod{3}$ を満たす $x$ は、$x = 3k + 2$ （$k$ は整数）と表せます。

これを $x \equiv 1 \pmod{5}$ に代入すると、

$3k + 2 \equiv 1 \pmod{5}$

$3k \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$

$6k \equiv 8 \pmod{5}$

$k \equiv 3 \pmod{5}$

よって、$k = 5l + 3$ （$l$ は整数）と表せます。

これを $x = 3k + 2$ に代入すると、

$x = 3(5l + 3) + 2 = 15l + 9 + 2 = 15l + 11$

次に、$x = 15l + 11$ を $x \equiv 6 \pmod{7}$ に代入すると、

$15l + 11 \equiv 6 \pmod{7}$

$15l \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7}$

$l \equiv 2 \pmod{7}$

$l = 7m + 2$（$m$は整数）

$x = 15l + 11 = 15(7m + 2) + 11 = 105m + 30 + 11 = 105m + 41$

したがって、$x \equiv 41 \pmod{105}$ です。

最小の自然数は $m=0$ のとき、$x = 41$。

3桁で最大の数は、$105m + 41 \le 999$ を満たす最大の $m$ を求めます。

$105m \le 958$

$m \le \frac{958}{105} \approx 9.12$

したがって、最大の $m$ は $9$ です。

$x = 105(9) + 41 = 945 + 41 = 986$

3. 最終的な答え

最小の数は41であり、3桁で最大の数は986である。