$420/n$ と $n/15$ がともに整数となるような自然数 $n$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$420/n$ と $n/15$ がともに整数となるような自然数 $n$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$420/n$ が整数となるためには、$n$ は $420$ の約数である必要があります。

次に、$n/15$ が整数となるためには、$n$ は $15$ の倍数である必要があります。

したがって、$n$ は $420$ の約数であり、かつ $15$ の倍数である必要があります。

$420$ を素因数分解すると、

$420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$

$15$ を素因数分解すると、

$15 = 3 \times 5$

$n$ は $15$ の倍数なので、$n = 15k$（$k$ は自然数）と表すことができます。

このとき、$n$ は $420$ の約数なので、$420/n$ も整数になります。

$420 / n = 420 / (15k) = (420/15) / k = 28/k$

$28/k$ が整数となるためには、$k$ は $28$ の約数である必要があります。

$28$ の約数は $1, 2, 4, 7, 14, 28$ の $6$ 個です。

$k = 1$ のとき、$n = 15 \times 1 = 15$

$k = 2$ のとき、$n = 15 \times 2 = 30$

$k = 4$ のとき、$n = 15 \times 4 = 60$

$k = 7$ のとき、$n = 15 \times 7 = 105$

$k = 14$ のとき、$n = 15 \times 14 = 210$

$k = 28$ のとき、$n = 15 \times 28 = 420$

これらは全て$420$の約数であり、$15$の倍数です。

よって、$n$ の候補は、$15, 30, 60, 105, 210, 420$ の $6$ 個です。

3. 最終的な答え

6個