$\sqrt{540-20n}$ が整数となる自然数 $n$ の値を全て求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{540-20n}$ が整数となる自然数 $n$ の値を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{540-20n}$ が整数となるためには、$540-20n$ が0以上の平方数でなければなりません。つまり、$540-20n = k^2$ ( $k$ は0以上の整数)となる必要があります。

$540-20n = k^2$ を変形すると、

$20n = 540 - k^2$

$n = \frac{540-k^2}{20}$

$n = 27 - \frac{k^2}{20}$

$n$ は自然数なので、$\frac{k^2}{20}$ は整数でなければなりません。つまり、$k^2$ は20の倍数です。

$k^2$ が20の倍数になるには、$k^2$ が $2^2 \cdot 5$ の倍数でなければならないので、$k$ は $2 \cdot \sqrt{5}$ の倍数である必要があります。

言い換えると、$k$ は $2 \cdot \sqrt{5}$ よりも大きな最小の整数である必要があり、$k$ は $2 \sqrt{5} m$の形である必要があります ($m$ は整数)。

さらに $k$ が整数であるためには、$k$ は $2 \sqrt{5} m$ が整数になる必要があるため、$k$ は $\sqrt{5}$ を消す必要があります。

$k$ が整数であるので、結局、$k$ は $20$ の倍数になる必要があり、$k = \sqrt{20 m}$ の形になります ($m$は整数)。 $k$ は、$k = 2 \sqrt{5 m}$

$n$は自然数なので、$n > 0$ である必要があります。

$27 - \frac{k^2}{20} > 0$

$27 > \frac{k^2}{20}$

$540 > k^2$

$k < \sqrt{540} \approx 23.2$

$k^2$が20の倍数であり、$k$が整数で、$k$が$23.2$以下であるものを探します。

$k=0$ のとき $n=27$

$k=10$ のとき $n=27 - \frac{100}{20} = 27-5 = 22$

$k=20$ のとき $n=27 - \frac{400}{20} = 27-20 = 7$

$k=0, 10, 20$ が条件を満たす整数です。

3. 最終的な答え

$n=7, 22, 27$