$9\sqrt{4n^2+165}$ が自然数となるような自然数 $n$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

$9\sqrt{4n^2+165}$ が自然数となるような自然数 $n$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$9\sqrt{4n^2+165}$ が自然数となるためには、まず $\sqrt{4n^2+165}$ が有理数でなければなりません。

$\sqrt{4n^2+165} = \frac{m}{9}$ と置きます。ここで、$m$ は自然数です。

$4n^2+165 = \frac{m^2}{81}$ となります。

$81(4n^2+165) = m^2$

$324n^2 + 13365 = m^2$

$(18n)^2 + 13365 = m^2$

$m^2 - (18n)^2 = 13365$

$(m - 18n)(m + 18n) = 13365$

$13365$ を素因数分解すると、$13365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 127$ となります。

$(m - 18n)$ と $(m + 18n)$ は整数であるため、積が $13365$ となる整数の組み合わせを考えます。また、$m+18n > m-18n$であることに注意します。

$13365 = 1 \times 13365 = 3 \times 4455 = 5 \times 2673 = 7 \times 1909 = 15 \times 891 = 21 \times 636.4... = 35 \times 381.8... = 105 \times 127$

$m-18n = a$, $m+18n = b$ とすると、

$m = \frac{a+b}{2}$

$18n = \frac{b-a}{2}$

$n = \frac{b-a}{36}$

$n$ が自然数となるためには、$b-a$ が $36$ の倍数でなければなりません。

考えられる組み合わせは以下の通りです。

1. $a=1$, $b=13365$ のとき、$n = \frac{13365-1}{36} = \frac{13364}{36} = 371.22...$

2. $a=3$, $b=4455$ のとき、$n = \frac{4455-3}{36} = \frac{4452}{36} = 123.66...$

3. $a=5$, $b=2673$ のとき、$n = \frac{2673-5}{36} = \frac{2668}{36} = 74.11...$

4. $a=7$, $b=1909$ のとき、$n = \frac{1909-7}{36} = \frac{1902}{36} = 52.83...$

5. $a=15$, $b=891$ のとき、$n = \frac{891-15}{36} = \frac{876}{36} = 24.33...$

6. $a=105$, $b=127$ のとき、$n = \frac{127-105}{36} = \frac{22}{36} = 0.61...$

しかし、計算ミスがありました。

$13365 = 3 \times 5 \times 7 \times 127$ でした。

$13365 = 1 \times 13365 = 3 \times 4455 = 5 \times 2673 = 7 \times 1909 = 15 \times 891 = 21 \times 636.42... = 35 \times 381.85...=105 \times 127 = 1 \times 13365$

$13365 = 3 \times 5 \times 7 \times 127 = 15 \times 891 = 21 \times 637 = 35 \times 382 = 105 \times 127$

$13365 = 9 \times 1485 = 45 \times 297$

$n = (b-a)/36$, $m=(a+b)/2$

$(18n)^2 + 13365 = m^2$

$a=3$, $b=4455$, $n=(4455-3)/36=4452/36=123.666...$

$a=45$, $b=297$, $n = (297-45)/36 = 252/36 = 7$

$m = (45+297)/2=342/2=171$.

$18n=126$, $126^2=15876$, $13365 + 15876=29241$, $\sqrt{29241}=171$.

$9\sqrt{4n^2+165} = 9\sqrt{4(7)^2+165} = 9\sqrt{4(49)+165}=9\sqrt{196+165}=9\sqrt{361}=9(19) = 171$.

もし、$a = 1$, $b = 13365$なら $n = (13365-1)/36=13364/36 = 371.22...$

$n=83$. $4(83^2) + 165 = 27556 + 165 = 27721 = (166.5)^2 \approx 167^2$,

なので、$4n^2+165 = k^2$ になるとき、$k = \frac{m}{9}$

$4n^2 + 165 = (\frac{m}{9})^2$

$4n^2 + 165 = \frac{m^2}{81}$

$n=83$, なら $4n^2+165 = 4\times 83^2 + 165 = 4(6889)+165=27556+165=27721$

$\sqrt{27721} = 166.5$, 整数ではない

$a=1$, $b=13365$. $n=(13365-1)/36 = 13364/36 = 371.22$

$a=3$, $b=4455$. $n=(4455-3)/36=4452/36 = 123.66$

$a=5$, $b=2673$. $n=(2673-5)/36=2668/36 = 74.11$

$a=7$, $b=1909$. $n=(1909-7)/36=1902/36=52.83$

$a=15$, $b=891$. $n=(891-15)/36=876/36 = 24.33$

$a=35$, $b=382$, $n=(382-35)/36=347/36=9.63$

$a=45$, $b=297$. $n=(297-45)/36 = 252/36 = 7$

$a=105$, $b=127$. $n=(127-105)/36 = 22/36 = 0.61$

$a=21$, $b=637$. $n=(637-21)/36=616/36=17.11$

$n=7$ のとき、$m = 171$.

$n=7$ が存在する

$18n < m$

3. 最終的な答え

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