すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ が5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ が5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき

$2^{1-1} + 3^{3\cdot1-2} + 7^{1-1} = 2^0 + 3^1 + 7^0 = 1 + 3 + 1 = 5$ となり、5の倍数である。

したがって、$n=1$ のとき、題意は成立する。

(2) $n=k$ のとき、$2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1}$ が5の倍数であると仮定する。すなわち、$2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1} = 5m$ (mは整数)とおく。

(3) $n=k+1$ のとき、$2^{(k+1)-1} + 3^{3(k+1)-2} + 7^{(k+1)-1} = 2^k + 3^{3k+1} + 7^k$ が5の倍数であることを示す。

$2^k + 3^{3k+1} + 7^k = 2 \cdot 2^{k-1} + 27 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1}$

$= 2 \cdot 2^{k-1} + 2 \cdot 3^{3k-2} + 2 \cdot 7^{k-1} + 25 \cdot 3^{3k-2} + 5 \cdot 7^{k-1}$

$= 2(2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1}) + 5(5 \cdot 3^{3k-2} + 7^{k-1})$

$= 2(5m) + 5(5 \cdot 3^{3k-2} + 7^{k-1})$

$= 5(2m + 5 \cdot 3^{3k-2} + 7^{k-1})$

$2m + 5 \cdot 3^{3k-2} + 7^{k-1}$ は整数なので、$5(2m + 5 \cdot 3^{3k-2} + 7^{k-1})$ は5の倍数である。

したがって、$n=k+1$ のときも題意は成立する。

(1)(2)より、すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ が5の倍数であることが証明された。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ は5の倍数である。