次の式を展開せよ。 (1) $(3a+2b-3c)^2$ (2) $(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2)$

はい、承知しました。画像に写っている数学の問題を解きます。

**p8 [基本と演習テーマ数学Ⅰ テーマ例題3]**

1. **問題の内容**

次の式を展開せよ。

(1) $(3a+2b-3c)^2$

(2) $(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2)$

2. **解き方の手順**

(1) $(3a+2b-3c)^2$ の展開：

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ の公式を利用します。

この公式に $x = 3a$, $y = 2b$, $z = -3c$ を代入すると、

$(3a+2b-3c)^2 = (3a)^2 + (2b)^2 + (-3c)^2 + 2(3a)(2b) + 2(2b)(-3c) + 2(-3c)(3a)$

$= 9a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 12ab - 12bc - 18ca$

(2) $(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2)$ の展開：

$A = a^2 - b^2$ とおくと、与式は $(A+ab)(A-ab) = A^2 - (ab)^2$ となります。

したがって、

$(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2) = (a^2-b^2)^2 - (ab)^2$

$= (a^4 - 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2$

$= a^4 - 3a^2b^2 + b^4$

3. **最終的な答え**

(1) $9a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 12ab - 12bc - 18ca$

(2) $a^4 - 3a^2b^2 + b^4$

**p8 [基本と演習テーマ数学Ⅰ 問題12]**

1. **問題の内容**

次の式を展開せよ。

(1) $(x-y-1)^2$

(2) $(2x+3y-5z)^2$

(3) $(x+y+6z)(x+y-6z)$

(4) $(x^2-3xy-2y^2)(x^2+3xy-2y^2)$

2. **解き方の手順**

(1) $(x-y-1)^2$ の展開：

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ の公式を利用します。

この公式に $x = x$, $y = -y$, $z = -1$ を代入すると、

$(x-y-1)^2 = x^2 + (-y)^2 + (-1)^2 + 2(x)(-y) + 2(-y)(-1) + 2(-1)(x)$

$= x^2 + y^2 + 1 - 2xy + 2y - 2x$

(2) $(2x+3y-5z)^2$ の展開：

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ の公式を利用します。

この公式に $x = 2x$, $y = 3y$, $z = -5z$ を代入すると、

$(2x+3y-5z)^2 = (2x)^2 + (3y)^2 + (-5z)^2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(-5z) + 2(-5z)(2x)$

$= 4x^2 + 9y^2 + 25z^2 + 12xy - 30yz - 20zx$

(3) $(x+y+6z)(x+y-6z)$ の展開：

$A = x+y$ とおくと、与式は $(A+6z)(A-6z) = A^2 - (6z)^2$ となります。

したがって、

$(x+y+6z)(x+y-6z) = (x+y)^2 - (6z)^2$

$= (x^2 + 2xy + y^2) - 36z^2$

$= x^2 + y^2 + 2xy - 36z^2$

(4) $(x^2-3xy-2y^2)(x^2+3xy-2y^2)$ の展開：

$A = x^2 - 2y^2$ とおくと、与式は $(A-3xy)(A+3xy) = A^2 - (3xy)^2$ となります。

したがって、

$(x^2-3xy-2y^2)(x^2+3xy-2y^2) = (x^2-2y^2)^2 - (3xy)^2$

$= (x^4 - 4x^2y^2 + 4y^4) - 9x^2y^2$

$= x^4 - 13x^2y^2 + 4y^4$

3. **最終的な答え**

(1) $x^2 + y^2 + 1 - 2xy + 2y - 2x$

(2) $4x^2 + 9y^2 + 25z^2 + 12xy - 30yz - 20zx$

(3) $x^2 + y^2 + 2xy - 36z^2$

(4) $x^4 - 13x^2y^2 + 4y^4$