次の2つの式を展開する問題です。 (1) $(3a+2b-3c)^2$ (2) $(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2)$

1. 問題の内容

次の2つの式を展開する問題です。

(1) $(3a+2b-3c)^2$

(2) $(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $(3a+2b-3c)^2$ の展開

多項式の2乗の公式を利用します。$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$

この公式に $x=3a$, $y=2b$, $z=-3c$ を代入します。

$(3a+2b-3c)^2 = (3a)^2 + (2b)^2 + (-3c)^2 + 2(3a)(2b) + 2(2b)(-3c) + 2(-3c)(3a)$

$= 9a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 12ab - 12bc - 18ca$

(2) $(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2)$ の展開

この式は、$(a^2-b^2)$ を共通の項として、和と差の積の形に変形することで展開できます。

$(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2) = ((a^2-b^2) + ab)((a^2-b^2) - ab)$

和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を利用します。$x = (a^2-b^2)$, $y = ab$ とします。

$((a^2-b^2) + ab)((a^2-b^2) - ab) = (a^2-b^2)^2 - (ab)^2$

$(a^2-b^2)^2$ を展開します。 $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ の公式を利用します。

$(a^2-b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

したがって、

$(a^2-b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2$

$= a^4 - 3a^2b^2 + b^4$

3. 最終的な答え

(1) $(3a+2b-3c)^2 = 9a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 12ab - 12bc - 18ca$

(2) $(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2) = a^4 - 3a^2b^2 + b^4$