三角形ABCにおいて、角C = 45°、辺a = 1 + √3、辺b = √2であるとき、辺AB (つまりc) の長さを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角C = 45°、辺a = 1 + √3、辺b = √2であるとき、辺AB (つまりc) の長さを求めます。

2. 解き方の手順

余弦定理を使います。

余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$ で表されます。

与えられた値を代入すると、以下のようになります。

$c^2 = (1 + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{3})(\sqrt{2})\cos{45^\circ}$

ここで、$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$c^2 = (1 + 2\sqrt{3} + 3) + 2 - 2(1 + \sqrt{3})(\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 4 + 2\sqrt{3} + 2 - 2(1 + \sqrt{3})\frac{2}{2}$

$c^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2(1 + \sqrt{3})$

$c^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$c^2 = 4$

よって、$c = \sqrt{4} = 2$

3. 最終的な答え

ABの長さは2です。