与えられた式 $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この問題は、因数分解の公式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を利用します。

まず、$a = x-y$, $b = y-z$, $c = z-x$ と置きます。

すると、$a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = x-y+y-z+z-x = 0$ となります。

$a+b+c=0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ なので、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立ちます。

したがって、

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

3. 最終的な答え

$3(x-y)(y-z)(z-x)$