$x+y=3$ かつ $xy=2$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x+y=3$ かつ $xy=2$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2$ の値を求める。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ という公式を利用する。

この式を $x^2 + y^2$ について解くと、

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ となる。

問題文より、$x+y=3$、$xy=2$ なので、

$x^2 + y^2 = 3^2 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5$

(2) $x^3 + y^3$ の値を求める。

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ という公式を利用する。

この式を $x^3 + y^3$ について解くと、

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3x^2y - 3xy^2 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ となる。

問題文より、$x+y=3$、$xy=2$ なので、

$x^3 + y^3 = 3^3 - 3 \cdot 2 \cdot 3 = 27 - 18 = 9$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 5$

(2) $x^3 + y^3 = 9$