全体集合$U$を有理数$x$で、$0 < x < 10$を満たすものとする。 部分集合$A$、$B$、$C$を以下のように定義する。 $A = \{x | x \in U かつ xは整数\}$ $B = \{x | x \in U かつ 3xは整数\}$ $C = \{x | x \in U かつ \sqrt{3}xは整数\}$ (1) $B$の要素のうち、最小のものと最大のものを求める。 (2) 次の(I), (II), (III)の正誤の組み合わせとして正しいものを選択肢から選ぶ。 (I) $\sqrt{3} \in \overline{A}$ (II) $\frac{4}{3} \in B$ (III) $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (3) $A \cap C$の要素を一つ挙げ、$B \cap C$の要素のうち、小さい方から2番目のものを求める。

1. 問題の内容

全体集合$U$を有理数$x$で、$0 < x < 10$を満たすものとする。

部分集合$A$、$B$、$C$を以下のように定義する。

$A = \{x | x \in U かつ xは整数\}$

$B = \{x | x \in U かつ 3xは整数\}$

$C = \{x | x \in U かつ \sqrt{3}xは整数\}$

(1) $B$の要素のうち、最小のものと最大のものを求める。

(2) 次の(I), (II), (III)の正誤の組み合わせとして正しいものを選択肢から選ぶ。

(I) $\sqrt{3} \in \overline{A}$

(II) $\frac{4}{3} \in B$

(III) $A \cap \overline{B} = \emptyset$

(3) $A \cap C$の要素を一つ挙げ、$B \cap C$の要素のうち、小さい方から2番目のものを求める。

2. 解き方の手順

(1) $B$の要素は、$3x$が整数となるような有理数$x$で、$0 < x < 10$を満たすものである。

$3x = 1$ のとき $x = \frac{1}{3}$であり、これが最小の要素となる。

$3x = 29$ のとき $x = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$であり、$3x = 30$とすると$x = 10$となり$0 < x < 10$を満たさない。よって$x = \frac{29}{3}$が最大の要素となる。

(2) (I) $\sqrt{3}$は無理数なので、$A$の要素ではない。よって$\sqrt{3} \in \overline{A}$は正しい。

(II) $\frac{4}{3} \in B$とは、$3 \times \frac{4}{3} = 4$ が整数なので、$B$の要素である。正しい。

(III) $A \cap \overline{B} = \emptyset$とは、$A$の要素で、$B$の要素でないものが存在しないということである。

$A$の要素は$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$である。

$B$の要素は$\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, 2, \dots, \frac{26}{3}, \frac{28}{3}, 9\frac{2}{3} = \frac{29}{3}$である。

$A$の要素で$B$の要素でもあるものは、$3x$が整数となるときなので、$x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$であれば、$3x$も整数である。

$3x$が整数になるためには、$x$が整数のとき$x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$である必要がある。

$x$が整数のとき、$3x$は整数となるので、$x \in B$である。

つまり、$A$の要素は全て$B$の要素でもあるので、$A \cap \overline{B} = \emptyset$は正しい。

(I) 正、(II) 正、(III) 正なので、選択肢0が正しい。

(3) $x \in A \cap C$とは、$x$が整数かつ$\sqrt{3}x$が整数となる有理数である。

$x$が整数のとき、$\sqrt{3}x$が整数になるためには、$x = 0$しかありえない。しかし、$0 < x < 10$を満たす必要があるため、$x = 0$は不適である。

$C$の要素は$\sqrt{3}x$が整数となる有理数$x$であるので、$x = \frac{n}{\sqrt{3}} = \frac{n\sqrt{3}}{3}$ (nは整数)と表せる。$x \in U$より$0 < x < 10$である必要があるので、$0 < \frac{n\sqrt{3}}{3} < 10$である。

$x$が整数となるためには、$n = 0$しかない。しかし$n=0$とすると$x = 0$となるので、$A \cap C = \emptyset$である。

$B \cap C$の要素は、$3x$と$\sqrt{3}x$がともに整数となる有理数$x$である。

$3x = m$ ($m$は整数) と $\sqrt{3}x = n$ ($n$は整数) とする。

$x = \frac{m}{3} = \frac{n}{\sqrt{3}}$ なので、$\sqrt{3} m = 3n$である。

$m = n \sqrt{3}$となるので、$m$と$n$が整数であるためには、$m = n = 0$である必要がある。

$m = n = 0$のとき、$x = 0$となり、$x > 0$に反する。

$x = k \sqrt{3}$ (kは有理数)とする。

$B$の要素は$3k\sqrt{3}$が整数なので、$k = \frac{p}{\sqrt{3}}$ (pは整数)となる。$x = p$となる。

$C$の要素は$\sqrt{3}k\sqrt{3} = 3k$が整数なので、$k = \frac{q}{3}$ (qは整数)となる。$x = \frac{q\sqrt{3}}{3}$となる。

$B \cap C$の要素は、$x = p = \frac{q\sqrt{3}}{3}$なので、$p = 0$かつ$q = 0$となる。

$x = 0$となり、$x > 0$に反する。

よって、$B \cap C$には要素が存在しない。

3. 最終的な答え

カ：1

キ：3

クケ：29

コ：3

サ：0

シ：なし (A∩C は空集合)

ス：存在しない

セ：B∩Cにも要素は存在しない