整数 $x, y$ が与えられた方程式 $2xy - 2x - 5y = 0$ を満たすとき、$x, y$ の組をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

整数 $x, y$ が与えられた方程式 $2xy - 2x - 5y = 0$ を満たすとき、$x, y$ の組をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を変形して、$xy$の項を含む形から、因数分解できる形に持っていきます。

まず、与えられた式を整理します。

$2xy - 2x - 5y = 0$

両辺に $5$ を加えます。

$2xy - 2x - 5y + 5 = 5$

ここで、左辺を因数分解します。

$2x(y-1) - 5(y-1) = 5 - 5 + 5$ // 間違い: $2x(y-1) - 5(y-1)$ は $2xy - 2x - 5y + 5$ と等しいので、右辺はそのまま $5$ です。

$2x(y-1) - 5(y-1) = 5$

$(2x - 5)(y - 1) = 5$

$x, y$は整数なので、$2x-5$ と $y-1$ も整数です。

整数同士の積が $5$ となる組み合わせは、以下の4通りです。

1. $2x - 5 = 1$ かつ $y - 1 = 5$

2. $2x - 5 = 5$ かつ $y - 1 = 1$

3. $2x - 5 = -1$ かつ $y - 1 = -5$

4. $2x - 5 = -5$ かつ $y - 1 = -1$

それぞれのケースについて、$x$ と $y$ の値を求めます。

ケース1: $2x - 5 = 1$ かつ $y - 1 = 5$

$2x = 6$ より $x = 3$

$y = 6$

ケース2: $2x - 5 = 5$ かつ $y - 1 = 1$

$2x = 10$ より $x = 5$

$y = 2$

ケース3: $2x - 5 = -1$ かつ $y - 1 = -5$

$2x = 4$ より $x = 2$

$y = -4$

ケース4: $2x - 5 = -5$ かつ $y - 1 = -1$

$2x = 0$ より $x = 0$

$y = 0$

3. 最終的な答え

したがって、求める整数の組 $(x, y)$ は、$(3, 6), (5, 2), (2, -4), (0, 0)$ です。