方程式 $35x - 29y = 3$ の全ての整数解を求める。

1. 問題の内容

方程式 $35x - 29y = 3$ の全ての整数解を求める。

2. 解き方の手順

まず、特殊解を一つ見つける。

$35x - 29y = 1$ の整数解をユークリッドの互除法で求める。

35 = 29 * 1 + 6

29 = 6 * 4 + 5

6 = 5 * 1 + 1

1 = 6 - 5 * 1

= 6 - (29 - 6 * 4) * 1

= 6 - 29 + 6 * 4

= 6 * 5 - 29

= (35 - 29 * 1) * 5 - 29

= 35 * 5 - 29 * 5 - 29

= 35 * 5 - 29 * 6

よって、$35 * 5 - 29 * 6 = 1$

これより、$35x - 29y = 3$ の特殊解の一つは、

$x = 5*3 = 15$, $y = 6*3 = 18$ である。

$35x - 29y = 3$ と $35 * 15 - 29 * 18 = 3$ の差をとると、

$35(x - 15) - 29(y - 18) = 0$

$35(x - 15) = 29(y - 18)$

35と29は互いに素なので、$x - 15 = 29k$、$y - 18 = 35k$ ($k$は整数)とおける。

$x = 29k + 15$, $y = 35k + 18$

3. 最終的な答え

$x = 29k + 15$, $y = 35k + 18$ ($k$は整数)