三角形ABCにおいて、$a=6, b=7, c=8$のとき、次の値を求める。 (1) $\cos C$ (2) $\sin C$ (3) 三角形ABCの面積$S$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=6, b=7, c=8$のとき、次の値を求める。

(1) $\cos C$

(2) $\sin C$

(3) 三角形ABCの面積$S$

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$\cos C$を求める。余弦定理は以下の通り。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

この式を$\cos C$について解くと、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた値を代入すると、

$\cos C = \frac{6^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 64}{84} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$

(2) $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$より、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$

$\cos C = \frac{1}{4}$なので、

$\sin^2 C = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin C > 0$なので、

$\sin C = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

(3) 三角形ABCの面積$S$は、

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$

$a=6, b=7, \sin C = \frac{\sqrt{15}}{4}$を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{42\sqrt{15}}{8} = \frac{21\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos C = \frac{1}{4}$

(2) $\sin C = \frac{\sqrt{15}}{4}$

(3) $S = \frac{21\sqrt{15}}{4}$