与えられた数学の問題は、因数分解、二次方程式、連立方程式の解法、ある演算規則に従う計算、確率、式の値を求めるなど、様々な種類の問題が出題されています。具体的には、次の問題が含まれています。 * 因数分解：$2x^2 + 3x - 5$, $3x^2 + 10x - 8$, $(x+1)^2 - 6x + 3$, $(x+1)^2 - (x+1) - 2$, $(x+y-1)(x+y+3)-5$, $a^2+2ab+b^2-c^2$, $x^2+xy+2x+y+1$ * 二次方程式を解く：$x^2 - 5x + 3 = 0$, $x^2 - 3x + 1 = 0$ * 連立方程式を解く：$\begin{cases} 2x - 3y = 12 \\ 3x + 5y = -1 \end{cases}$ * 式の値を求める：$\sqrt{5} - 3 + |\sqrt{5} - 2|$, $|1-\sqrt{3}| + |2-\sqrt{3}|$ * ある演算規則に従う計算：$x \bigcirc 3 = 8$（ただし、$a \bigcirc b = 2a - b + 3ab$） * 確率：当たりくじ3本、はずれくじ2本が入っているくじをA, Bの順に引くとき、Bが当たる確率。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、因数分解、二次方程式、連立方程式の解法、ある演算規則に従う計算、確率、式の値を求めるなど、様々な種類の問題が出題されています。具体的には、次の問題が含まれています。

* 因数分解：$2x^2 + 3x - 5$, $3x^2 + 10x - 8$, $(x+1)^2 - 6x + 3$, $(x+1)^2 - (x+1) - 2$, $(x+y-1)(x+y+3)-5$, $a^2+2ab+b^2-c^2$, $x^2+xy+2x+y+1$

* 二次方程式を解く：$x^2 - 5x + 3 = 0$, $x^2 - 3x + 1 = 0$

* 連立方程式を解く：$\begin{cases} 2x - 3y = 12 \\ 3x + 5y = -1 \end{cases}$

* 式の値を求める：$\sqrt{5} - 3 + |\sqrt{5} - 2|$, $|1-\sqrt{3}| + |2-\sqrt{3}|$

* ある演算規則に従う計算：$x \bigcirc 3 = 8$（ただし、$a \bigcirc b = 2a - b + 3ab$）

* 確率：当たりくじ3本、はずれくじ2本が入っているくじをA, Bの順に引くとき、Bが当たる確率。

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

* **因数分解**

* $2x^2 + 3x - 5$: たすき掛けを用いて $(2x+5)(x-1)$ と因数分解できます。

* $3x^2 + 10x - 8$: たすき掛けを用いて $(3x-2)(x+4)$ と因数分解できます。

* $(x+1)^2 - 6x + 3 = x^2 + 2x + 1 - 6x + 3 = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

* $(x+1)^2 - (x+1) - 2$: $X = x+1$ と置くと $X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)$. よって、 $(x+1-2)(x+1+1)=(x-1)(x+2)$。

* $(x+y-1)(x+y+3) - 5$: $X=x+y$と置くと $(X-1)(X+3) - 5 = X^2+2X-3-5 = X^2+2X-8 = (X+4)(X-2) = (x+y+4)(x+y-2)$.

* $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$: $(a+b)^2 - c^2 = (a+b+c)(a+b-c)$

* $x^2 + xy + 2x + y + 1 = x(x+y+2) + (y+1)$: $(x^2+xy)+(2x+y+1)$ : $x^2+2x+1+xy+y = (x+1)^2 + y(x+1) = (x+1)(x+1+y)=(x+1)(x+y+1)$

* **二次方程式を解く**

* $x^2 - 5x + 3 = 0$: 解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

* $x^2 - 3x + 1 = 0$: 解の公式を用いると、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

* **連立方程式を解く**

$\begin{cases} 2x - 3y = 12 \\ 3x + 5y = -1 \end{cases}$

1式を3倍、2式を2倍してxを消去すると

$\begin{cases} 6x - 9y = 36 \\ 6x + 10y = -2 \end{cases}$

下の式から上の式を引くと、 $19y = -38$ よって $y = -2$.

$2x - 3(-2) = 12$ より $2x + 6 = 12$, $2x = 6$, $x = 3$。

* **式の値を求める**

* $\sqrt{5} - 3 + |\sqrt{5} - 2|$: $\sqrt{5} \approx 2.236$ なので $\sqrt{5}-2 > 0$。 よって $|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5} - 2$.

したがって、 $\sqrt{5} - 3 + \sqrt{5} - 2 = 2\sqrt{5} - 5$

* $|1-\sqrt{3}| + |2-\sqrt{3}|$: $\sqrt{3} \approx 1.732$ なので $1-\sqrt{3} < 0$ かつ $2 - \sqrt{3} > 0$.

よって $|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$, $|2-\sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$. したがって、 $\sqrt{3} - 1 + 2 - \sqrt{3} = 1$。

* **ある演算規則に従う計算**

$a \bigcirc b = 2a - b + 3ab$ であり、$x \bigcirc 3 = 8$ を満たす $x$ を求める。

$x \bigcirc 3 = 2x - 3 + 3x(3) = 2x - 3 + 9x = 11x - 3$.

したがって、$11x - 3 = 8$. $11x = 11$. $x = 1$.

* **確率**

当たりくじ3本、はずれくじ2本。 Aが先に引き、引いたくじは戻さない。Bが当たる確率。

(1) Aが当たりを引いた場合： Bが当たる確率は 2/4 = 1/2

(2) Aが外れを引いた場合： Bが当たる確率は 3/4

Aが当たる確率は 3/5。 Aが外れる確率は 2/5。

したがって、 Bが当たる確率は (3/5)*(1/2) + (2/5)*(3/4) = 3/10 + 6/20 = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5。

3. 最終的な答え

* $2x^2 + 3x - 5$の因数分解: $(2x+5)(x-1)$

* $3x^2 + 10x - 8$の因数分解: $(3x-2)(x+4)$

* $(x+1)^2 - 6x + 3$の因数分解: $(x-2)^2$

* $(x+1)^2 - (x+1) - 2$の因数分解: $(x-1)(x+2)$

* $(x+y-1)(x+y+3)-5$の因数分解: $(x+y+4)(x+y-2)$

* $a^2+2ab+b^2-c^2$の因数分解: $(a+b+c)(a+b-c)$

* $x^2+xy+2x+y+1$の因数分解: $(x+1)(x+y+1)$

* $x^2 - 5x + 3 = 0$ の解: $x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

* $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解: $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

* 連立方程式の解: $x=3, y=-2$

* $\sqrt{5} - 3 + |\sqrt{5} - 2|$ の値: $2\sqrt{5} - 5$

* $|1-\sqrt{3}| + |2-\sqrt{3}|$ の値: $1$

* $x \bigcirc 3 = 8$ を満たす $x$ の値: $1$

* Bが当たる確率: $\frac{3}{5}$