ユークリッドの互除法を用いて、不定方程式 $14x + 3y = 2$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つける。

1. 問題の内容

ユークリッドの互除法を用いて、不定方程式 $14x + 3y = 2$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つける。

2. 解き方の手順

まず、$14x + 3y = 1$ を満たす整数 $x, y$ の組をユークリッドの互除法で見つける。

14 と 3 に対してユークリッドの互除法を行う。

$14 = 3 \cdot 4 + 2$

$3 = 2 \cdot 1 + 1$

$2 = 1 \cdot 2 + 0$

よって、14と3の最大公約数は1である。

次に、上の式を逆順にたどって、$14x + 3y = 1$ の解を求める。

$1 = 3 - 2 \cdot 1$

$1 = 3 - (14 - 3 \cdot 4) \cdot 1$

$1 = 3 - 14 + 3 \cdot 4$

$1 = 3 \cdot 5 - 14 \cdot 1$

$1 = (-1) \cdot 14 + 5 \cdot 3$

したがって、$14x + 3y = 1$ を満たす整数解の一つは、$x = -1, y = 5$ である。

求めたいのは、$14x + 3y = 2$ を満たす整数解である。

$14(-1) + 3(5) = 1$

両辺に2を掛けると

$14(-2) + 3(10) = 2$

したがって、$14x + 3y = 2$ を満たす整数解の一つは、$x = -2, y = 10$ である。

3. 最終的な答え

$x = -2, y = 10$